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Matrices

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Sébastien,

Pour prouver la linéarité d’une application il faut prouver deux choses : la linéarité pour la loi de composition (ici l’addition) et la linéarité sur un scalaire. Pour prouver cela il faut toujours calculer chaque terme de l’égalité et constater qu’il y a bien égalité ! Par exemple pour prouver que f((vecteur(u)+vecteur(u)’) = f(vecteur(u))+f(vecteur(u)’) on va calculer séparément chaque coté de l’égalité en exprimant les vecteurs par leurs composantes pour pouvoir leur appliquer f.
Pour calculer la somme de deux vecteurs tu dois calculer la somme composante par composante. Ici tu as donc U = vecteur(u) + vecteur(u)' = (x+x’ , y+y’ , z+z’ ) .
Pour pouvoir calculer l’image de ce vecteur U par f il faut que tu vois bien que f s’applique aux nouvelles composantes (X, Y , Z) de U avec X = x+x’ etc… Donc par définition de f tu as f(U(X,Y,Z)) = (X+Y , X+Y+Z , Y+Z) c'est-à-dire f(U) = (x+x’+y+y’ , x+x’+y+y’+z+z’ , y+y’+z+z’)
Si maintenant tu calcules f(vecteur(u)) tu obtiens (x+y , x+y+z , y+z) . Tu fais de même pour u’ . Tu as alors deux vecteurs images de u et u’ par f. Si tu sommes ces deux vecteurs, composante par composante, tu trouveras la même chose que pour le calcul de f(u+u’). Tu auras donc prouver l’égalité f((vecteur(u)+vecteur(u)’) = f(vecteur(u))+f(vecteur(u)’).
Pour la linéarité par rapport au produit par un scalaire, il faut la aussi que tu calcules les deux membres de l’égalité f(k*vecteur(u)) = k*f(vecteur(u)) .
Multiplier un vecteur par un scalaire revient à multiplier chacune de ses composante par ce scalaire donc k*vecteur(u) = ( k*x , k*y , k*z ) . Tu applique maintenant la définition de f aux composante de ce nouveau vecteur et tu obtiens (k*x+k*y , k*x+k*y+k*z , k*y+k*z). Tu n’as plus qu’à calculer k*f(vecteur(u)) et tu trouveras la même chose, prouvant ainsi l’égalité recherchée.
Ayant prouver à la fois que f((vecteur(u)+vecteur(u)’) = f(vecteur(u))+f(vecteur(u)’) et que f(k*vecteur(u)) = k*f(vecteur(u)) pour n’importe quel vecteur u et u’ appartenant à R^3, tu as prouvé la linéarité de f pour l’addition sur l’ensemble R^3. Attention, ici il est évident que tous les calculs restent les mêmes quelques soient les vecteurs u et u’ appartenant à l’ensemble de définition de f. Dans d’autre cas avec d’autres applications, il faudra peut-être que tu fasses attention a ce que les calculs que tu fais pour prouver la linéarité soient valables POUR TOUT vecteur de l’ensemble de définition. Si il existe ne serait-ce qu’un seul élément de l’ensemble de définition pour lequel les égalité de linéarité ne sont pas vraies, l’application ne sera pas linéaire. Ici, pas de problème car tu n’as que des additions et des multiplication par des scalaires.

J’espère que cela t’aidera. Pour que notre réponse soit la plus utile possible pour toi, lorsque tu nous pose une question n’hésite pas à nous dire ce que tu as déjà fait dans l’exercice. Cela nous permet de voir précisément ce sur quoi tu as du mal, et ce que tu as compris aussi, pour pouvoir t’aider là ou tu en as le plus besoin.

Bon courage et à bientôt.
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