Arithmétique ...

Mathematiques > sujets expliqués - correction

	Arithmétique ... revenir au plan			docs
		Bonjour, je viens d'avoir ce d(...)
		Bonjour, le service "mon cy lire

Bonjour, je viens d'avoir ce devoir et j'ai eu une assez mauvaise note ... Je dois le corriger pour jeudi et je n'ai rien compris : pouvez-vous m'aider ?

I.Soit p un nombre premier donné. On se propose d'étudier l'existence de couples (x;y) d'entiers naturels strictement positifs vérifiant l'équation : E : x²+y²=p²

1. On pose p=2. Montrer que l'équation E est sans solution. On suppose désormais p différent de 2 et que le couple (x;y) est solution de l'équation E.

2. Le but de cette question est de prouver que x et y sont premiers entre eux.
a.Montrer que x et y sont de parités différentes.
b.Montrer que x et y ne sont pas divisibles par p.
c.En déduire que x et y sont premiers entre eux.

3. On suppose maintenant que p est une somme de deux carrés non nuls, c'est-à-dire : p=u²+v² où u et v sont deux entiers naturels strictement positifs.
a.Vérifier qu'alors le couple ( (valeur absolue de u²- v²);2uv) est solution de l'équation E.
b.Donner une solution de l'équation E lorsque p=5 puis lorsque p=13.

4.On se propose enfin de vérifier sur deux exemples, que l'équation E est impossible lorsque p n'est pas somme de deux carrés.
a.p=3 et p=7 sont-ils somme de deux carrés ?
b.Démontrer que les équations x²+y²=9 et x²+y²=49 n'admettent pas de solution en entiers naturels strictement positifs.

II.On considère les suites (x(n)) et (y(n)) définies pas x0=1, y0 =8 et le système :

x(n+1)=(7/3)x(n)+(1/3)y(n)+1
y(n+1)=(20/3)x(n)+(8/3)y(n)+5 n appartenant à N

1.Montrer, par récurrence, que les points Mn de coordonnées (x(n),y(n)) sont sur la droite (delta) dont une équation est 5x-y+3=0. En déduire que x(n+1)=4x(n)+2.

2.Montrer, par récurrence, que tous les x(n) sont des entiers naturels. En déduire que tous les y(n) sont aussi des entiers naturels.

3.Montrer que :
a.x(n) est divisible par 3 si et seulement si y(n) est divisible par 3.
b.Si x(n) et y(n) ne sont pas divisibles par 3, alors ils sont premiers entre eux

4.a.Montrer, par récurrence, que x(n)=(1/3)(((4 puissance n) multiplié par 5) –2)
b.En déduire que (((4 puissance n) multiplié par 5) –2) est un multiple de 3, pour tout entier n.

Merci pour la correction, je comparerai avec ma copie pour voir ce qui n'allait pas.

Documents attachés :

aucun document joint.