Enoncé & travail préliminaire :  QUESTION

soit ABC un triangle non aplati, A' , B' , C' , les milieux respectifs des seigments [BC] , [AC] et [AB]et O le centre circonscrit au triangle ABC.
Soit H le point défini par:
les vecteurs OH= OA + OB + OC

1.DETEMINER LE POINT H
a)montrer succesivement que:
les vecteurs AH=2OA' , BH=2OB' , CH=2OC'

b)placer le point H sur une figure

c) montrer succesivement que
(AH)est perpendiculaire à (BC)
(BH)est perpendiculaire à (AC)
(CH)est perpendiculaire à (AB)

d)que peut on en déduire pour le point H?

2.Soit G le point défini par:
les vecteurs GA+GB+GC=0 (vecteurs nuls)
a)montrer succesivement que:
AG=2/3AA' , BG=2/3BB' , CG=2/3CC'

b)placer le point G sur la figure

c)montrer que, pout tous point M du plan:
les vecteurs MA+MB+MC=3MG

d)en déduire que le vecteurs OH=3OG

e)que peut on en déduire de la question précédente?


REPONSE:

1-a) AH=AO+OH
=AO+OB+OA+OC
=OB+OC
=OA'+A'B+OA'+A'C
=2OA'+A'B+A'C (or A' milieu de CB donc A'B+A'C= O (vecteurs nuls))
=2OA'

BH=BO+OH
=BO+OB+OA+OC
=OA+OC
=OB'+B'A+OB'+B'C
=2OB'+B'A+B'C (or B' milieu de AC donc B'A+B'C=O(vecteurs nuls))
=2OB'

CH=CO+OH
=CO+OB+OA+OC
=OB+OA
=OC'+C'B+OC'+C'A
=2OC'+C'B+C'A ( or C' milieu de AB donc C'B+C'A=O(vecteurs nuls)

c)*on sait que AH=2OA' donc (OA')et(AH) sont paralléles
que (OA')est perpendiculaire à (CB)
or si 2 droites sont paralléles alors toutes droite perpendiculaire a l'une est perpendiculaire a l'autre
donc (AH)est perpenduculaire à (BC)

*on sait que BH=2OB' donc (BH)et(OB') sont paralléles
que (OB')est perpendiculaire à (AC)
or si 2 droites sont paralléles alors toutes droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre
donc (BH)est perpendiculaire à (AC)

*on sait que (CH)=2OC' donc (CH)et (OB')sont paralléles
que (OC')est perpendiculaire à (AB)
or si 2 droites sont paralléles alors toutes droite perpendiculauire à l'une est perpendiculaire à l'autre
donc (CH) est perpendiculaire à (AB)

d) on sait que (AH)perpendiculeire(BC),(BH)perpendiculaire(AC)et(CH)perpendiculaire(AB)
donc H est le pont ou toutes les huteurs du triangle ABC se croisent
Donc H est l'hottocentre

2-a)voici la seule question a me poser un probléme j'aimerais que vous me donnier un petit coup de pouce

c)MA+MB+MC=MG+GA+MG+GB+MG+GC
=3MG+GA+GB+GC (or GA+GB+GC=O(vecteurs nuls))
=MG

d)OH=OA+OB+OC
=OG+GA+OG+GB+OG+GC
=3OG+GA+GB+GC (or GA+GB+GC=O(vecteurs nuls))
=3OG

e)on sait que OH=3OG dons la droite passant par le centre de gravité et l'hortocentre et le centre du cercle circonscrit est la droite d'Euler

Merci de votre aide