ex sur loi de poisson (proba, vraisemblance, estimateur et distribution asymptotique)

Ex sur loi de poisson (proba, vraisemblance, estimateur et distribution asymptotique)

Mathematiques > sujets expliqués - 29/04/2010 - correction

Je dispose d’une variable latente Yi* qui suit une loi de poisson de paramètre m.
Sa densité est donné par :
F(y*)=( exp –m m y* ) / y* ! avec m>0 et y*appartenant aux entiers naturels

Ce qui est en gras est un indice

1) On n’observe pas la variable yi* mais seulement la variable qualitative :
yi = 1 si yi*≥1
0 si yi*=0
a) Donner l’expression de la proba P[yi=0] :
Ecrire la log vraisemblance d’un échantillon (y1,…,yn)
b) Donner l’expression de l’estimateur de m, noté ^m
c) Quelle est sa distribution asymptotique

2) On considère maintenant que l’on observe directement l’échantillon (y1,…,yn) au lieu des variables dichotomiques.
a) Donner l’expression de la vraisemblance de cet échantillon
b) Donner l’expression de l’estimateur de m, noté ^m
c) Quelle est sa distribution asymptotique

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Bonjour,

Vous trouverez ci-joints 3 documents au format jpeg qui constituent la correction de l'exercice.

Je vous souhaite une excellente continuation.

Bien cordialement.

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Je vous remercie d'avoir accepté de reprendre mon exercice.

Je tenais aussi à vous remercier pour votre correction. Tout était très bien expliqué.

La dernière question est en pièce jointe

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Bonjour,

Vous trouverez en PJ la réponse à la question 3 ainsi qu'une explication détaillée concernant votre questionnement.

Je vous souhaite une excellente continuation.

Bien cordialement,

PS1 : remarquez que le développement limité de l'expression de l'un des deux estimateurs (celui en log) permet de retomber sur l'expression du second estimateur. C'est plutôt cohérent.

PS2: Par ailleurs, lorsque vous concluez sur la précision de ces deux estimateurs, vérifiez bien que l'estimateur le plus précis correspond à l'observation la plus abondante (précise, fiable)...

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