en une : Le raisonnement par récurrence

Analyse combinatoire

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DÉFINITIONS

Une combinaison est un ensemble non orienté d'éléments, qui ne peuvent pas se répéter.

Un arrangement est un ensemble orienté d'éléments, qui ne peuvent pas se répéter.

Un n-uplet est un ensemble orienté d'éléments qui peuvent se répéter.

On note $    C_{n}^{p}   $ le nombre de combinaisons distinctes de p éléments pris parmi n, et on note $    A_{n}^{p}   $

le nombre d'arrangements distincts de p éléments pris parmi n.

PROPRIÉTÉS

Il existe $    n^p   $ p-uplets d'éléments pris parmi n, distincts.

$ C_{n}^{p} = \frac{n!}{p! . (n-p)!}     $
$    A_{n}^{p} = \frac{n!}{(n-p)!}  $

$  C_{n}^{p} = C_{n}^{n-p}      $

Le binôme de Newton 



Dans le développement d'une expression du type : $    {(a+b)}^{n}   $ , les coefficients des différents termes en a et b sont les coefficients du " triangle de Pascal " :

$   {(a+b)}^{n} =   C_{n}^{n}.a^n + C_{n}^{n-1}.a^{n-1}.b +  C_{n}^{n-2}.a^{n-2}.b^2 + ... + C_{n}^{0}.b^n   $