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Les complexes

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DÉFINITION

On définit un nombre, noté i, tel que :

$ i^2 = -1       $ ce nombre n'est donc pas un réel. Il appartient à l'ensemble des nombres complexes, qui inclut aussi l'ensemble des réels ; les règles de calcul usuelles dans $  \mathbb{R}      $ sont aussi valables dans $     \mathbb{C}  $ (l'ensemble des complexes) : les opérations d'addition, de multiplication, ... sont généralisées à $     \mathbb{C}  $ .

Tout nombre complexe peut s'écrire comme une somme d'un réel, et d'un imaginaire pur (i.e. : un multiple de $    i \text{~:~} z=a+i.b  $ ) où a et b sont des coefficients réels

On appelle a " partie réelle " de z, et b, " partie imaginaire " de $   z    $ .

On peut représenter un complexe z=a+i.b sur un plan muni d'un repère : (a,b), appelée " affixe de z " sont les coordonnées d'un point M qui représente le complexe z.

On appelle " complexe conjugué " de z le complexe qui a la même partie réelle que z, et une partie imaginaire opposée à celle de z.

MODULE D'UN COMPLEXE

c'est la distance entre le point repésentatif M et l'origine de ce repère orthonormé ; le module de

z=a+i.b vaut donc : $    \sqrt{a^2 + b^2}   $

Pour tout complexe non nul, il existe un unique réel positif r, et un unique réel thêta compris entre 0 et $     2.\pi  $ , tels que :

$    z = r.(\cos(\theta) + i.\sin(\theta))   $

($     \theta  $ est une mesure de l'angle orienté entre le vecteur directeur de l'axe des réels et OM, et r est le module de z)

Pour des raisons qui ne sont pas au programme de terminale, on note également ce complexe : $    r.{e}^{i.\theta}   $ , et les règles de calcul sur les exponentielles complexes sont les mêmes que sur les exponentielles réelles.

PROBLÈMES DU SECONDE DEGRÉ (ax2+bx+c=0, avec a, b et c réels) dans l'ensemble complexe 



Les équations du second degré à discriminant négatif admettent des solutions dans l'ensemble des complexes dans la démonstration de l'utilité du discriminant, en première, on montrait que ces équations n'admettaient pas de racine réelle, parce qu'il aurait fallu que $    {\left (\frac{x+b}{2a}\right)}^{2}   $ soit égal à $  \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}     $ , qui est négatif quand le discriminant est négatif).

Si on admet que $    x   $ peut être complexe sans être nécessairement réel : l'équation admet deux racines, qui sont conjuguées :

$    \frac{-b+i.\sqrt{D}}{2a}  \text{~et~} \frac{-b-i.\sqrt{D}}{2a}$