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Dérivées et primitives

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DÉFINITIONS

On appelle " primitive de f " sur un certain intervalle, une fonction dont la dérivée, sur cet intervalle, est égale à $ f $ (qui doit être continue sur cet intervalle).

Remarque : une fonction $ f $ , continue sur un intervalle $ I $ , a une infinité de primitives sur cet intervalle ; elles sont égales les unes aux autres, à une constante additive près (puisque, quelle que soit cette constante, la dérivation la fera disparaître).

On appelle " intégrale de f " sur l'intervalle $ [a;b] $ (où $ f $ est continue) la valeur :

$ F(b) - F(a) $ où $ F $ est une primitive de $ f $ (n'importe laquelle : puisqu'elles ne diffèrent que par une constante additive, et que cette constante disparaît quand on fait la soustraction $ F(b) - F(a) $ ).

PROPRIÉTÉ

L'intégrale de $ f $ sur $ [a;b] $ est égale à la surface comprise entre l'axe des abscisses, et la courbe représentative de $ f $ , dans un repère orthonormé.

MÉTHODES DE CALCUL DES INTÉGRALES

Il faut se ramener à des intégrales de fonctions dont on connaît des primitives (par exemple, on connaît des primitives de $ \cos(x) \text{~,~} \sin(x)\text{~,~}x^2 $ , ...) ; si aucune fonction facilement intégrable n'apparaît, on la fait apparaître en utilisant la formule d'intégration par parties.