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Equations différentielles du 1er et du 2è ordre à coefficients constants sans second membre

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DÉFINITION

Ce sont des équations qui font intervenir une fonction (notée $ y $) et sa dérivée première (pour le premier ordre), ou ses deux premières dérivées (pour le second ordre). Ces équations s'appliquent sur des intervalles, où les fonctions solutions (et leurs dérivées intervenant dans l'équation) doivent être définies.

Exemples 

Equation différentielle du premier ordre :

$ a.y^{'} + b.y = 0 $

(a et b sont les " coefficients constants " : ce ne sont pas des fonctions de $ x $)

Equation différentielle du second ordre :

$ a.y^{''} + b.y^{'} +c.y = 0 $ (a, b et c constants)

Elles sont dites " sans second membre ", parce que le terme à droite de l'égalité est nul.

RÉSOLUTION

Résoudre une équation différentielle signifie : trouver l'ensemble des fonctions y vérifiant l'équation, sur l'intervalle considéré.

Théorème

Les solutions d'une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants sans second membre $ (a.y^{'} + b.y = 0) $ sont de la forme : $ y=C.e^{-\frac{b}{a} .x} $ avec C : constante

Le nombre et la forme des solutions d'une équation différentielle du second ordre à coefficients constants sans second membre $ (a.y^{''} + b.y^{'} +c.y = 0) $ dépendent du signe du discriminant de l' " équation caractéristique " de l'équation différentielle ; cette équation caractéristique est :$ a.x^{2} + b.x +c = 0 $ .

Si le discriminant est nul, les solutions sont de la forme :

$ y(x) = (Ax + b).e^{\frac{-b}{2a}x} $


(A et B : constantes)

Si le discriminant est strictement positif, les solutions sont de la forme :

$ y(x) = A.e^{y_{1}x} + B.e^{y_{2}x} $



Avec : A, B : constantes, $ y_{1},y_{2} $ : les deux racines de l'équation caractéristique

Si le discriminant est strictement négatif, l'équation caractéristique admet alors =deux racines complexes conjuguées : k+i.l et k-i.l, avec k et l réels : les solutions sont de la forme : y(x)=ek.x(A.cos(l.x) + B.sin(l.x))