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Logarithme et exponentielle

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FONCTION LOGARITHME

On définit la fonction " logarithme népérien " comme la primitive, sur l'intervalle $  ]0;+ \infty [ $ de la fonction inverse, qui s'annule en 1.

Notation  le logarithme népérien de x se note : $  \ln(x) $.

Propriétés du logarithme  $  \ln(a.b) = \ln(a) + \ln(b)  $

Limites de $  \ln(x) $ :

$  \lim_{x \to + \infty} \ln(x) = +\infty $
$ \lim_{x \to 0} \ln(x) = -\infty  $



Comme $ \frac{1}{x}  $ est strictement positive sur l'intervalle $  ]0;+ \infty[ $ la fonction logarithme est strictement croissante sur son intervalle de définition.

FONCTION EXPONENTIELLE

On définit la fonction exponentielle comme la fonction réciproque de $  \ln $:

Pour tout réel $  x \text{~:~} \ln( \exp(x) ) =x $

Pour tout $  x > 0 \exp( \ln (x) ) =x $

PROPRIÉTÉS DE L'EXPONENTIELLE

$ \exp(a+b) = \exp(a). \exp(b)   $

Cette propriété rappelle celle des puissances entières des nombres réels : on va donc utiliser la notation :$ \exp(x) = e^{x}  $ (avec e : le réel tel que $  \exp(1) = e $ ; c'est donc le réel tel que : $  \ln(e) = 1 $

On peut alors généraliser la notion de " puissance d'un réel " aux nombres réels, et plus seulement aux entiers : si a et b sont deux réels, $  a^b $ sera égal à : $ \exp(b. \ln(a) )  $

on peut vérifier que les puissances réelles de nombres réels vérifient les propriétés des puissances entières des nombres réels.