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Le principe de récurrence

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PRINCIPE

C'est un raisonnement utile lorsqu'on veut démontrer qu'une propriété, dépendant d'un entier n, est valable quel que soit $n$. La propriété sera notée $P(n)$.

Exemple : la propriété $P(n)$ peut être " le carré de $n$ est supérieur ou égal à n ".

Si on arrive à démontrer que la validité de $  P(n_{0})  $ (avec $   n_0 $ : un certain entier) entraîne la validité de $  P(n_{0}+1)  $, alors il suffit de montrer que, pour un certain entier $   n_1 $n1, la propriété est valide, pour qu'elle soit valide à tous les rangs supérieurs à $   n_1 $.

Ainsi, sans préjuger de la validité de $  P(n_{0})  $, on regarde ce que ça impliquerait au rang $  n_{0} + 1  $ ; il est tout à fait possible que la validité de $  P(n_{0})  $ implique la validité de $  P(n_{0}+1)  $, sans que la propriété P ne soit valide pour quelqu'entier que ce soit : on reste alors dans la virtualité ; si en revanche, on montre qu'à un certain rang n, elle est vraie (en faisant le calcul, tout simplement), alors on ancre cette ribambelle de validités de propriétés dans la réalité ...