en une : Le raisonnement par récurrence

Les intervalles

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DÉFINITION

Un intervalle de R (ensemble des réels) est un ensemble de réels $x$ compris entre deux bornes ; ainsi, l'ensemble des réels supérieurs à 2, mais inférieurs à 3, est un intervalle.

Un intervalle peut être ouvert ou fermé à ses bornes : lorsque la borne est incluse dans l'intervalle, on dit que l'intervalle est " fermé " à cette borne ; lorsqu'elle est exclue de l'intervalle, il est dit " ouvert ".

NOTATION

L'ensemble des réels supérieurs ou égaux à 2 (l'intervalle est donc fermé en 2) mais strictement inférieurs à 3 (l'intervalle est donc ouvert en 3) est noté : $ [2;3[ $.

Propriétés

L'intersection de deux intervalles est un intervalle ; ainsi, l'intersection de $ [2;6] \text{~et~} [4;10] $ (c'est l'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à [2 ; 6] et à [4 ; 10]) est l'intervalle $ [4;6] $

Union de deux intervalles : c'est l'ensemble des réels appartenant soit à l'un, soit à l'autre, des deux intervalles ; ces deux intervalles peuvent être disjoints : ainsi, l'union de $ [2;3] $ et $ [5;7] $ est composée de l'ensemble des réels compris entre 2 et 3, et des réels compris entre 5 et 7.