Opérations sur les vecteurs

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SOMME DE DEUX VECTEURS

la somme de deux vecteurs est un vecteur, qui peut se construire géométriquement, en reportant l'origine d'un des deux vecteurs à la suite de l'autre.

Pour construire géométriquement la différence de deux vecteurs, par exemple : $ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} $, on commence par tracer l'opposé du deuxième vecteur (c'est à dire $ - \overrightarrow{CD} $, donc : $ \overrightarrow{DC} $ ), et on le reporte à la suite du premier. On réalise donc la somme : $ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} $

La relation de Chasles 

Pour tous points A, B et C du plan, on a :

$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} $

MULTIPLICATION D'UN VECTEUR PAR UN RÉEL

Soit un vecteur $ \overrightarrow{AB} $, et soit un réel $k$.
Le résultat de la multiplication $k . \overrightarrow{AB}$ est le vecteur colinéaire à $ \overrightarrow{AB} $, de norme $ |k| \times \left\| \overrightarrow{AB} \right\| $, et de sens : le même que $ \overrightarrow{AB} $ si $k$ est positif, le sens opposé si $k$ est négatif.

Lorsque $ k=0 $, le résultat de la multiplication de n'importe quel vecteur par $k$, donne le vecteur nul.

PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES

- Si I est le milieu du segment $[AB]$ :

$ \overrightarrow{AI} = \frac{1}{2} . \overrightarrow{AB} $

- Centre de gravité d'un triangle :

soit G le centre de gravité du triangle ABC ; on a :

$ \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{CG} =0 $