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Fonctions polynômiales et fonctions rationnelles

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DÉFINITION

Les fonctions polynômiales sont des fonctions qui, à un réel x, associent $f(x)$ de la forme :

$   f(x) = a . x^{n} + b . x^{n-1} + ...  $

f(x) = axn + bxn-1 +...

(elles ne font intervenir que des puissances entières de $x$).

La puissance maximale de $x$ dans cette expression (l'entier $n $, dans l'exemple ci-dessus, avec $a$ non nul) est appelée " degré du polynôme".

Les fonctions rationnelles sont des fonctions de la forme : $  \frac{f}{g}  $$f$ et $g$ sont deux fonctions polynômiales.

Remarque 

une fonction affine est une fonction polynômiale du premier degré (de degré 1).

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS

Soient $f$ et $g$ deux fonctions ;$k.f$ (avec $k$: réel) est une fonction, définie en tout point où $f$ est définie ; $f+g, f.g    $ sont des fonctions, définies en tout point où $ f \text{~et~} g  $ sont définies.

Si $ f \text{~et~} g  $ sont des fonctions polynômiales, $f+g \text{~et~} f.g    $ en sont aussi ; si $ f \text{~et~} g  $ sont des fonctions rationnelles, $f+g \text{~et~} f.g    $ en sont aussi.

L'égalité " $ f = g    $ " signifie que :

1. $f \text{~et~} g    $ ont le même ensemble de définition ;
2. en tout point $x$ de cet ensemble : $  f(x) = g(x)  $.