en une : Le lexique de français

Produit scalaire

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DÉFINITION

Le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est un réel ; il est noté :$\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v}$

Il est égal au produit des normes des deux vecteurs, multiplié par le cosinus de l'angle qu'ils font l'un par rapport à l'autre.

$ \overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = \left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) $

Expression analytique 



Si le vecteur $ \overrightarrow{u} $ a pour coordonnées $ (x,y,z) $ (ou, si on travaille dans le plan : $ (x,y) $ ) et si le vecteur $ \overrightarrow{v} $ a pour coordonnées $ (x',y',z') $ (dans le plan : $ (x',y') $ ), alors leur produit scalaire vaut : xx'+yy'+zz' (dans le plan : xx'+yy').

PROPRIÉTÉS

$ \overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} . \overrightarrow{u} $
$ \overrightarrow{u} . (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} . \overrightarrow{w} $
$ (k . \overrightarrow{u}) . \overrightarrow{v} = k.(\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v}) $ où $k$ est un réel

APPLICATIONS

Calcul de distances, de surfaces, de volumes.

Exemple : calcul de la distance du point A à la droite (D), de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$:

Cette distance est la distance entre A et le projeté orthogonal de A sur $(D)$ (on va le noter : H). On a donc $(AH)$ perpendiculaire à $(D)$ ; en terme de vecteurs :

$\overrightarrow{AH}$ orthogonal à$\overrightarrow{u}$ce qui veut dire $\overrightarrow{AH} . \overrightarrow{u} = 0$

On connaît les coordonnées de $ \overrightarrow{u} $, donc, connaissant le produit scalaire, on en déduit une relation entre l'abscisse et l'ordonnée de $ \overrightarrow{AH} $, donc, entre l'abscisse et l'ordonnée de $H$ ; comme de plus $H$ appartient à $(D)$, on dispose d'une relation supplémentaire entre son abscisse et son ordonnée : il ne reste qu'à résoudre un système de deux équations à deux inconnues pour trouver les coordonnées de $H$, et donc, calculer la distance $AH$.