Equations et inéquations du second degré

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LES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

Ce sont des équations dans laquelle l'inconnue est à la puissance 2, et éventuellement à des puissances inférieures. Exemple :

$ x^{2} = 4 $ est une équation du second degré, mais aussi $ 2^{2} + 3x = 5 $ (qui fait intervenir $x$).

MÉTHODES DE RÉSOLUTION D'UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

1. En utilisant les formes canoniques 

On ramène l'équation à une forme $ (x+a)(x+b)=0 $, ou bien : $ (x+a)^{2} = b $ ; ces équations sont ensuite simples à résoudre.

Si $ (x+a)(x+b) = 0 $ par exemple, les solutions sont de façon évidente $ -a \text{~et~} -b $.

Si $ (x+a)^{2} = b $, il n'y a pas de solution si $ b < 0 $, une solution si $ b=0 $ (c'est -a), deux solutions si $ b> 0 $ : il suffit de passer b dans l'autre membre de l'équation et de reconnaître une identité remarquable de la forme $ M^{2} - N^{2} $

2. Lorsqu'il est impossible de se ramener à une forme canonique

, ou qu'il n'est pas évident de trouver a et b tels que : $ (x+a)(x+b) = 0 $ : on calcule le discriminant de l'équation ; son signe nous renseigne sur le nombre de solutions (aussi appelées : racines), et sa valeur nous donne les solutions éventuelles.

LE DISCRIMINANT

Soit l'équation :

$ ax^{2} + bx + c $
(avec a non nul). Le discriminant $ \Delta $ vaut : $ b^{2} - 4 ac $.

Si $ \Delta < 0 $ : l'équation n'admet aucune racine réelle.

Si $ \Delta = 0 $ : elle admet une unique racine, la " racine double ", qui vaut : $ - \frac{b}{2ac} $

Si $ \Delta > 0 $ : elle admet deux racines réelles, qui valent : $ - \frac{b+ \sqrt{\Delta}}{2a} $ et $ - \frac{b - \sqrt{\Delta}}{2a} $


  • Lorsque l'équation n'admet pas de racine réelle (cas " $ \Delta < 0 $ "), l'expression $ ax^{2} + bx + c $ est du signe de $a$ sur l'ensemble des réels.

  • Lorsque l'équation admet une racine double (cas " $ \Delta = 0 $ "), l'expression $ ax^{2} + bx + c $ est du signe de $a$ sur l'ensemble des réels sauf à la racine, où elle est évidemment nulle (par définition de la racine).

  • Lorsque l'équation admet deux racines réelles (cas "$ \Delta > 0 $ "), l'expression $ ax^{2} + bx + c $ est du signe de $a$ en-dehors de l'intervalle des racines, elle est de signe opposée entre les racines, et naturellement (par définition des racines), elle s'annule à chacune des deux racines.


Ces propriétés permettent de résoudre les inéquations du second degré. Par exemple, pour résoudre " $ ax^{2} + bx + c >0 $ ", on étudie l'existence et le nombre des racines de l'équation $ a x^{2} + bx + c = 0 $ ; les propriétés ci-dessus permettent de déterminer sur quels ensembles l'expression $ ax^{2} + bx +c $ est strictement positive.

FONCTIONS POLYNÔMIALES DU SECOND DEGRÉ

Ce sont des fonctions de la forme : $ f(x) = ax^{2} +bx +c $ ; l'étude du signe de ces fonctions se ramène donc à des résolutions d'équations du second degré.