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Equations et inéquations du second degré

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LES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

Ce sont des équations dans laquelle l'inconnue est à la puissance 2, et éventuellement à des puissances inférieures. Exemple :

$ x^{2}  = 4 $ est une équation du second degré, mais aussi $ 2^{2} + 3x = 5   $ (qui fait intervenir $x$).

MÉTHODES DE RÉSOLUTION D'UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

1. En utilisant les formes canoniques 

On ramène l'équation à une forme $  (x+a)(x+b)=0  $, ou bien : $   (x+a)^{2} = b $ ; ces équations sont ensuite simples à résoudre.

Si $  (x+a)(x+b) = 0  $ par exemple, les solutions sont de façon évidente $  -a \text{~et~} -b  $.

Si $     (x+a)^{2} = b $, il n'y a pas de solution si $  b < 0  $, une solution si $  b=0  $ (c'est -a), deux solutions si $  b> 0  $ : il suffit de passer b dans l'autre membre de l'équation et de reconnaître une identité remarquable de la forme $  M^{2} - N^{2} $

2. Lorsqu'il est impossible de se ramener à une forme canonique

, ou qu'il n'est pas évident de trouver a et b tels que : $  (x+a)(x+b) = 0  $ : on calcule le discriminant de l'équation ; son signe nous renseigne sur le nombre de solutions (aussi appelées : racines), et sa valeur nous donne les solutions éventuelles.

LE DISCRIMINANT

Soit l'équation :

$  ax^{2} + bx + c  $
(avec a non nul). Le discriminant $  \Delta  $ vaut : $  b^{2}  - 4 ac $.

Si $  \Delta < 0 $ : l'équation n'admet aucune racine réelle.

Si $  \Delta = 0  $ : elle admet une unique racine, la " racine double ", qui vaut : $  - \frac{b}{2ac}  $

Si $  \Delta > 0  $ : elle admet deux racines réelles, qui valent : $  - \frac{b+ \sqrt{\Delta}}{2a}  $ et $  - \frac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}  $


  • Lorsque l'équation n'admet pas de racine réelle (cas " $  \Delta < 0  $ "), l'expression $  ax^{2} + bx + c $ est du signe de $a$ sur l'ensemble des réels.

  • Lorsque l'équation admet une racine double (cas " $  \Delta = 0  $ "), l'expression $  ax^{2} + bx + c $ est du signe de $a$ sur l'ensemble des réels sauf à la racine, où elle est évidemment nulle (par définition de la racine).

  • Lorsque l'équation admet deux racines réelles (cas "$ \Delta > 0 $ "), l'expression $  ax^{2} + bx + c $ est du signe de $a$ en-dehors de l'intervalle des racines, elle est de signe opposée entre les racines, et naturellement (par définition des racines), elle s'annule à chacune des deux racines.


Ces propriétés permettent de résoudre les inéquations du second degré. Par exemple, pour résoudre " $  ax^{2} + bx + c >0  $ ", on étudie l'existence et le nombre des racines de l'équation $  a x^{2} + bx + c = 0 $ ; les propriétés ci-dessus permettent de déterminer sur quels ensembles l'expression $  ax^{2} + bx +c   $ est strictement positive.

FONCTIONS POLYNÔMIALES DU SECOND DEGRÉ

Ce sont des fonctions de la forme : $  f(x) = ax^{2} +bx +c $ ; l'étude du signe de ces fonctions se ramène donc à des résolutions d'équations du second degré.