LES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
Ce sont des équations dans laquelle l'inconnue est à la puissance 2, et éventuellement à des puissances inférieures. Exemple :
est une équation du second degré, mais aussi
(qui fait intervenir
).
MÉTHODES DE RÉSOLUTION D'UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ
1. En utilisant les formes canoniques
On ramène l'équation à une forme
, ou bien :
; ces équations sont ensuite simples à résoudre.
Si
par exemple, les solutions sont de façon évidente
.
Si
, il n'y a pas de solution si
, une solution si
(c'est -a), deux solutions si
: il suffit de passer b dans l'autre membre de l'équation et de reconnaître une identité remarquable de la forme
2. Lorsqu'il est impossible de se ramener à une forme canonique
, ou qu'il n'est pas évident de trouver a et b tels que :
: on calcule le
discriminant de l'équation ; son signe nous renseigne sur le nombre de solutions (aussi appelées :
racines), et sa valeur nous donne les solutions éventuelles.
LE DISCRIMINANT
Soit l'équation :
(avec
a non nul). Le discriminant
vaut :
.
Si
: l'équation n'admet aucune racine réelle.
Si
: elle admet une unique racine, la " racine double ", qui vaut :
Si
: elle admet deux racines réelles, qui valent :
et
- Lorsque l'équation n'admet pas de racine réelle (cas "
"), l'expression 
est du signe de 
sur l'ensemble des réels.
- Lorsque l'équation admet une racine double (cas " "), l'expression est du signe de sur l'ensemble des réels sauf à la racine, où elle est évidemment nulle (par définition de la racine).
- Lorsque l'équation admet deux racines réelles (cas "
"), l'expression est du signe de en-dehors de l'intervalle des racines, elle est de signe opposée entre les racines, et naturellement (par définition des racines), elle s'annule à chacune des deux racines.
Ces propriétés permettent de résoudre les inéquations du second degré. Par exemple, pour résoudre "
", on étudie l'existence et le nombre des racines de l'équation
; les propriétés ci-dessus permettent de déterminer sur quels ensembles l'expression
est strictement positive.
FONCTIONS POLYNÔMIALES DU SECOND DEGRÉ
Ce sont des fonctions de la forme :
; l'étude du signe de ces fonctions se ramène donc à des résolutions d'équations du second degré.
