LES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
Ce sont des équations dans laquelle l'inconnue est à la puissance 2, et éventuellement à des puissances inférieures. Exemple :
![$ x^{2} = 4 $ $ x^{2} = 4 $](/latexrender/pictures/13abb91812391e83b569d147a7e83e6f.png)
est une équation du second degré, mais aussi
![$ 2^{2} + 3x = 5 $ $ 2^{2} + 3x = 5 $](/latexrender/pictures/ac1a80c584b7a695ab6efa2eb237d4b7.png)
(qui fait intervenir
![$x$ $x$](/latexrender/pictures/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b.png)
).
MÉTHODES DE RÉSOLUTION D'UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ
1. En utilisant les formes canoniques
On ramène l'équation à une forme
![$ (x+a)(x+b)=0 $ $ (x+a)(x+b)=0 $](/latexrender/pictures/4788047f2df65e2719221cb7203999a9.png)
, ou bien :
![$ (x+a)^{2} = b $ $ (x+a)^{2} = b $](/latexrender/pictures/0370608cc950dc28526045aa345bc7af.png)
; ces équations sont ensuite simples à résoudre.
Si
![$ (x+a)(x+b) = 0 $ $ (x+a)(x+b) = 0 $](/latexrender/pictures/b467faadc57448e79762607b52e1e485.png)
par exemple, les solutions sont de façon évidente
![$ -a \text{~et~} -b $ $ -a \text{~et~} -b $](/latexrender/pictures/0470ecf56294baf1e703268fc9259c31.png)
.
Si
![$ (x+a)^{2} = b $ $ (x+a)^{2} = b $](/latexrender/pictures/9312b8a51a0e0f724efebd7b5cf107fb.png)
, il n'y a pas de solution si
![$ b < 0 $ $ b < 0 $](/latexrender/pictures/a5c9886ba79e86844bed2019c55acd9f.png)
, une solution si
![$ b=0 $ $ b=0 $](/latexrender/pictures/ca20d5ba57cc4af348af5e9579af19f3.png)
(c'est -a), deux solutions si
![$ b> 0 $ $ b> 0 $](/latexrender/pictures/8ac63e59b80afd4e3616af75467c68b8.png)
: il suffit de passer b dans l'autre membre de l'équation et de reconnaître une identité remarquable de la forme
![$ M^{2} - N^{2} $ $ M^{2} - N^{2} $](/latexrender/pictures/389f6fefee2e8773fa4312f3616eccb4.png)
2. Lorsqu'il est impossible de se ramener à une forme canonique
, ou qu'il n'est pas évident de trouver a et b tels que :
![$ (x+a)(x+b) = 0 $ $ (x+a)(x+b) = 0 $](/latexrender/pictures/b467faadc57448e79762607b52e1e485.png)
: on calcule le
discriminant de l'équation ; son signe nous renseigne sur le nombre de solutions (aussi appelées :
racines), et sa valeur nous donne les solutions éventuelles.
LE DISCRIMINANT
Soit l'équation :
![$ ax^{2} + bx + c $ $ ax^{2} + bx + c $](/latexrender/pictures/150fc157f8231d440fb12e8b77a9c5c0.png)
(avec
a non nul). Le discriminant
![$ \Delta $ $ \Delta $](/latexrender/pictures/bcdc77b2378b7c3a490b01ddb33f7804.png)
vaut :
![$ b^{2} - 4 ac $ $ b^{2} - 4 ac $](/latexrender/pictures/7168326b95a0388fdc611843b2e49f56.png)
.
Si
![$ \Delta < 0 $ $ \Delta < 0 $](/latexrender/pictures/666726b9dbf8247873cf4b6270634a9c.png)
: l'équation n'admet aucune racine réelle.
Si
![$ \Delta = 0 $ $ \Delta = 0 $](/latexrender/pictures/40b5a79713200815ac0caa59b4926148.png)
: elle admet une unique racine, la " racine double ", qui vaut :
Si
![$ \Delta > 0 $ $ \Delta > 0 $](/latexrender/pictures/588656dec0912b8af39267722791cef8.png)
: elle admet deux racines réelles, qui valent :
![$ - \frac{b+ \sqrt{\Delta}}{2a} $ $ - \frac{b+ \sqrt{\Delta}}{2a} $](/latexrender/pictures/7bc3c3a3573a4333a34f72cce4bbe86e.png)
et
- Lorsque l'équation n'admet pas de racine réelle (cas "
"), l'expression
est du signe de
sur l'ensemble des réels.
- Lorsque l'équation admet une racine double (cas "
"), l'expression
est du signe de
sur l'ensemble des réels sauf à la racine, où elle est évidemment nulle (par définition de la racine).
- Lorsque l'équation admet deux racines réelles (cas "
"), l'expression
est du signe de
en-dehors de l'intervalle des racines, elle est de signe opposée entre les racines, et naturellement (par définition des racines), elle s'annule à chacune des deux racines.
Ces propriétés permettent de résoudre les inéquations du second degré. Par exemple, pour résoudre "
![$ ax^{2} + bx + c >0 $ $ ax^{2} + bx + c >0 $](/latexrender/pictures/34147e1c51e116c75908dcf6f9d3e417.png)
", on étudie l'existence et le nombre des racines de l'équation
![$ a x^{2} + bx + c = 0 $ $ a x^{2} + bx + c = 0 $](/latexrender/pictures/23ef64da93123395fba6a73f1326c02f.png)
; les propriétés ci-dessus permettent de déterminer sur quels ensembles l'expression
![$ ax^{2} + bx +c $ $ ax^{2} + bx +c $](/latexrender/pictures/822766d4968ce685b8a838520a3c96c2.png)
est strictement positive.
FONCTIONS POLYNÔMIALES DU SECOND DEGRÉ
Ce sont des fonctions de la forme :
![$ f(x) = ax^{2} +bx +c $ $ f(x) = ax^{2} +bx +c $](/latexrender/pictures/4d3b51d7717bab672a3f33530e25fa0a.png)
; l'étude du signe de ces fonctions se ramène donc à des résolutions d'équations du second degré.