LES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
Ce sont des équations dans laquelle l'inconnue est à la puissance 2, et éventuellement à des puissances inférieures. Exemple :

est une équation du second degré, mais aussi

(qui fait intervenir

).
MÉTHODES DE RÉSOLUTION D'UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ
1. En utilisant les formes canoniques
On ramène l'équation à une forme

, ou bien :

; ces équations sont ensuite simples à résoudre.
Si

par exemple, les solutions sont de façon évidente

.
Si

, il n'y a pas de solution si

, une solution si

(c'est -a), deux solutions si

: il suffit de passer b dans l'autre membre de l'équation et de reconnaître une identité remarquable de la forme

2. Lorsqu'il est impossible de se ramener à une forme canonique
, ou qu'il n'est pas évident de trouver a et b tels que :

: on calcule le
discriminant de l'équation ; son signe nous renseigne sur le nombre de solutions (aussi appelées :
racines), et sa valeur nous donne les solutions éventuelles.
LE DISCRIMINANT
Soit l'équation :

(avec
a non nul). Le discriminant

vaut :

.
Si

: l'équation n'admet aucune racine réelle.
Si

: elle admet une unique racine, la " racine double ", qui vaut :
Si

: elle admet deux racines réelles, qui valent :

et
- Lorsque l'équation n'admet pas de racine réelle (cas "
"), l'expression
est du signe de
sur l'ensemble des réels.
- Lorsque l'équation admet une racine double (cas "
"), l'expression
est du signe de
sur l'ensemble des réels sauf à la racine, où elle est évidemment nulle (par définition de la racine).
- Lorsque l'équation admet deux racines réelles (cas "
"), l'expression
est du signe de
en-dehors de l'intervalle des racines, elle est de signe opposée entre les racines, et naturellement (par définition des racines), elle s'annule à chacune des deux racines.
Ces propriétés permettent de résoudre les inéquations du second degré. Par exemple, pour résoudre "

", on étudie l'existence et le nombre des racines de l'équation

; les propriétés ci-dessus permettent de déterminer sur quels ensembles l'expression

est strictement positive.
FONCTIONS POLYNÔMIALES DU SECOND DEGRÉ
Ce sont des fonctions de la forme :

; l'étude du signe de ces fonctions se ramène donc à des résolutions d'équations du second degré.