en une : Le lexique de français

Equation différencielle

Chimie > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Stephanie,

Tu dois bien faire la différence entre l’outil mathématique, et le problème physique dans lequel tu dois utiliser cet outil. En l’occurrence l’outil mathématique ce sont les équations différentielles linéaires. Cela correspond à une certaine forme d’équation s’appliquant à une fonction, quelle que soit cette fonction. Donc si tu sais résoudre l’équation différentielle linéaire (je noterais EDL dans la suite) pour une fonction tu sauras la résoudre pour n’importe quelle autre fonction. En particulier si tu sais résoudre l’équation pour la fonction « intensité » i(t) alors si u(t) et q(t) obéïssent à une EDL de la même forme, les solutions se calculeront par la même méthode. Fais bien la différence entre une « équation » qui est une expression mathématique qui te permet de trouver la valeur d’une « variable » inconnue et les « équations différentielles » qui est une expression mathématique faisant intervenir les dérivées d’une fonction et qui te permet de trouver l’expression d’une « fonction » inconnue.
Concrètement dans les problèmes d’électronique avec des résistances, des bobines et des condensateurs tu tomberas toujours sur le même type d’équation différentielle qu’il faudra que tu résolves (je t’expliquerais plus tard comment tu obtiens l’équation différentielle en elle-même).
Il y a 3 grands types d’EDL que tu peux rencontrer. Je les écrits ci-dessous en les appliquant à une fonction f quelconque de la variable t (la notation f ’(t) signifie la dérivée première de f, C est une constante, et g(t) est une fonction de la variable t):
1) EDL du premier ordre sans second membre : f ’(t) + a.f(t) = 0
2) EDL du premier ordre avec second membre constant : f ’(t) + a.f(t) = C
3) EDL du premier ordre avec second membre variable : f ’(t) + a.f ‘(t) = g(t)

Voici comment procéder pour résoudre chacune de ses EDL (les notations restent les mêmes que ci-dessus) :

1) Par théorème tu dois savoir par cœur que les solutions d’une équation de ce type sont de la forme f(t) = K.exp(-a.t) où K est une constante et exp( ) est la fonction exponentielle. Mathématiquement la constante K peut être n’importe quoi. C'est-à-dire que mathématiquement toutes les fonction de cette forme là peuvent être solution de l’équation différentielle. En revanche physiquement tu devras tenir compte des conditions initiales (c'est-à-dire pour t=0) pour déterminer la valeur de K qui répond au problème physique. Par exemple si c’est l’intensité qui vérifie cette équation différentielle dans ton problème et que l’intensité vaut 5 mA pour t = 0 tu devras alors dire que pour t = 0 on a i (t) = i(0) = 5 = K. exp(-a.0) = K donc K = 5mA dans ce cas.
2) Dans ce cas il faut savoir que les solutions sont de la forme f(t) = K.exp(-a.t) + C/a. Comme dans le cas précédent tu devras déterminer la valeur de K en fonctions des conditions initiales de ton problème physique
3) C’est le cas le plus compliqué. Tu dois d’abord résoudre l’EDL associée sans second membre c'est-à-dire f ’(t) + a.f(t) = 0 exactement de la même manière que au 1). Ensuite tu dois trouver une solution particulière de l’EDL complète, avec le second membre qui dépend de la variable t. J’appelle F cette solution particulière (je te montre après comment trouver cette solution particulière. Les solution de l’EDL sont alors données par la somme de la solution l’EDL sans second membre et de la solution particulière c'est-à-dire que les solutions s’écrivent f(t) = K.exp(-a.t) + F. Pour trouver F en général il faut que tu supposes que F est une fonction de la même forme que g(t). Par exemple si c’est un polynôme d’ordre 1 tu prends F(t) = k.t + l où k et l sont des constantes que tu détermines en injectant F et F’ dans l’EDL complète. Tu obtiens alors une équation simple qui te permet de trouver les valeur de k et l et donc la fonction F(t)

Tout ce que je viens de te décrire c’est la technique mathématique à savoir par cœur pour résoudre l’équation à laquelle tu arrives avec le problème physique. Une fois que tu as ton EDL tu dois juste identifier auquel de ces trois cas appartient ton équation et appliquer la méthode de résolution que je viens de te donner. Reste à savoir comment arriver à cette EDL à partir de l’énoncé d’un problème d’électronique.
Dans les problèmes d’électronique tu auras toujours un circuit avec une résistance, une bobine ou une capacité. Pour t’en sortir tu devras toujours écrire la loi d’additivité des tensions c'est-à-dire que la somme de toutes les tensions qui sont en série dans ton circuit doit être nulle. (par exemple si tu as une résistance et une bobine en série tu auras Ur + Ub = 0). Tu dois savoir pour chacun de ces compostant comment on relie l’intensité du courant qui circule dans le composant à la tension appliquée à ses bornes.
Pour la résistance on a Ur(t) = R.I(t) (loi d’Ohm)
Pour la bobine on a Ub(t) = L.I’(t) (I’ est la dérivée de l’intensité)
Pour le condensateur on a I(t) = C.Uc’(t) (Uc’ est la dérivée de la tension aux bornes du condensateur)
A partir de ces trois équations et de l’additivité des tensions tu arrives toujours à une EDL sur la tension ou sur le courant. (dans l’exemple de la résistance et du condensateur tu arrives à R.I(t) + L.I’(t) = 0 c'est-à-dire une EDL sans second membre comme dans le cas 1) ci-dessus, les solutions seront donc de la forme I(t) = Io.e(-Rt/L) où Io est une constante égale à la valeur initiale du courant dans ton circuit)

Voilà Stephanie. J’espère que tout ceci t’aideras et si tu as des difficultés sur un exercice particulier n’hésite pas à nous demander.

A bientôt et bon courage.
Documents attachés :    aucun document joint.
précédent |