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Mathematiques > sujets expliqués - 01/11/2007 - correction

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		Bonjour Pouvez-vous me rés lire
		il n'est peut-être pas utile lire
		Tout l'exercice me pose problàlire
		ok g est un quotient de fon lire

ok

g est un quotient de fonctions, on regarde donc les limites de ces fonctions en -1.
ln(1-x) va tendre vers l'infini, et x^2 vers 1
on a donc une fraction dont le numérateur tend vers l'infini et le dénominateur vers 1, g tend vers l'infini en -1.

pour la limite en l'infini (inf), on sait que pour tout x positif ln(1+x) < x, donc
0 < g(x) < x/x^2=1/x
or 1/x tend vers 0 en inf
d'après le théorème des gendarme, la limite de g est supérieure à 0 et inférieure à 0, donc égale à 0.

3)
sin(4x)/(4x) en 0
c'est la limite usuelle de sin(x)/x en 0
donc tend vers 1

sin(5x)/(2x) = (5/2)*sin(5x)/(5x)
sin(5x)/(5x) tend vers 1 en 0
donc tend vers 5/2

1 - cos(2x) = 2 sin^2(x)
donc (1-cosx)/x = 2 sin^2(x/2)/x
2 sin^2(x/2)/x = 4sin(x/2)*sin(x/2)/(x/2)
et sin(x/2)/(x/2) tend vers 1 en 0
donc tend vers la lmite de 4sin(x/2), c'est à dire 0.
(on décomposera à peu près de la même façon pour (1-cosx)/x^2 )

et un dernier :
(V(x+5)-3)/(x-4) =
(1/(V(x+5)+3)) * (x+5-9)/(x-4) =
(1/(V(x+5)+3))
et on calcule pour x = 4
cela tend vers 1/6

et on fait la même chose pour les autres, on réécrit de telle façon à retrouver des limites usuelles.

4)
pour les calcul de somme/différence avec des termes tendant vers inf (ou moins inf), il faut revenir à un quotient pour déterminer le terme prépondérant.
ainsi, pour la limite de a-b en inf
on regarde a/b en inf
pour le premier exemple, on regarde
V(x+5)/V(x-5) en l'infini, cela tend vers 1, donc la limite de la différence sera 0 (les 2 termes se "valent" en inf)

pour le troisième, c'est la même chose :
V(4x^2+2x-1)/(2x+3) est équivalent à 2x/2x en inf, donc la limite est 1, la limite de la différence est 0.

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