Fonctions circulaires

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		Bonjour Christian, Pour t†lire

Bonjour Christian,

Pour t’aider dans tous les exercices concernant les fonctions circulaires il y a un petit truc que tu dois absolument bien comprendre et qui t’aidera beaucoup. Si on les appelle fonctions « circulaires » c’est parce que tu peut représenter leur valeur grâce à un cercle. Je te conseille de prendre une feuille et de dessiner ce que je vais te décrire maintenant :
Trace un repère avec deux axes orthogonaux, un pour les abscisses notées x et un pour les ordonnées notées y. L’origine de ce repère sera noté le point O. Trace ensuite un cercle de rayon 1 et centré sur O Tu as alors un cercle qui coupe l’axe des abscisse au point (1 , 0) que je vais noter M et qui coupe l’axe des ordonnées au point (0, 1). Prend maintenant n’importe quel point de ce cercle. On va appeler P ce point. Trace la demi droite [OP). Tu obtiens alors un angle entre les demi droite [OP) et [OM). C'est-à-dire l’angle formé entre la droite qui relie l’origine du repère et le point du cercle que tu as choisis et la droite qui donne l’axe des abscisses. On appelle t cet angle. Et bien si tu utilise cette représentation, pour n’importe quelle valeur de l’angle t la projection orthogonale du point P sur l’axe des abscisse te donne la valeur de cos(t) et la projection sur l’axe des ordonnées te donne sin(t). C'est-à-dire que les coordonnées du point P sont (cos(t) , sin(t) ) . Tu as certainement vu cela en cours mais il est essentiel que tu aies toujours ce cercle sous les yeux lorsque tu travailles avec les fonctions circulaires. Donc pour chaque exercice je te conseille de retracer ce cercle au brouillon à coté de toi. Je vais te montrer pourquoi :
Si tu ne te souviens plus des valeurs que prennent les fonctions sin et cos pour certains angles particuliers tu n’as qu’à les retrouver avec ce petit dessin. En effet imagine par exemple l’angle t = 0. Si tu veut le placer sur ton dessin cela veut dire que le point P est sur l’axe des abscisse, confondu avec le point M. Les coordonnées de P valent alors (1, 0) c'est-à-dire que cos(0) = 1 et sin(0) = 0. Tu dois ensuite juste te souvenir que lorsque tu fais tout le tour du cercle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre tu obtiens des valeurs de l’angle t de 0 jusqu’à 2Pi (pour le tour complet). C'est-à-dire que si tu fais juste un quart de tour (donc que le point P est sur l’axe des ordonnées avec les coordonnées (0,1)) et bien l’angle entre [OP) et [OM) (c'est-à-dire l’angle droit entre les deux axes de ton repères) vaut 90° ce qui correspond à 2Pi/4 = Pi/2 radiants (2Pi c’est le tour complet donc un quart de tour c’est 2Pi/4, les radiants sont une autre unités que les degré pour mesurer les angles et Pi/2 radiants correspond à 90°). Dans ce cas tu as t = Pi/2 et tu vois sur le cercle que cos(Pi/2) = 0 et sin(Pi/2) = 1
Si tu continues à tourner sur le cercle tu vas arriver à la moitié d’un tour c'est-à-dire 2Pi/2 = Pi. Dans ce cas P appartient à l’axe des abscisses mais du coté des nombres négatifs c'est-à-dire que ses coordonnées sont (-1, 0) et donc tu sais tout de suite que cos(Pi)=-1 et sin(Pi) = 0. Tu peut trouver ainsi n’importe quelle valeur des fonction s cos et sin pour n’importe quelle valeur de l’angle t. Si tu comprends bien ce petit dessin cela va beaucoup t’aider à trouver les bonnes idées sur les fonctions circulaires. La deuxième question de ton exercice en est un très bon exemple :
On te demande de prouver que –racine(2) < (ou égal) f(x) < (ou égal) racine(2). L’angle qui est dans la fonction f(x) s’écrit 2x-Pi/4 c'est-à-dire que si x varie il peut prendre n’importe quelle valeur donc apparemment la question d’encadrer cette fonction n’est pas simple. Mais si tu regarde le cercle que je t’ai fait tracer : tu sais que pour n’importe quel valeur de l’angle t qui est dans la fonction sinus, la valeur de sin(t) est donné sur l’axe des ordonnées. Tu vois que comme le point P se déplace le long du cercle l’ordonnée de P qui donne la valeur du sinus sera toujours comprise dans le segment compris entre -1 et 1 sur l’axe des ordonnées. C'est-à-dire que tu vois graphiquement que la fonction sin est toujours supérieure à -1 et inférieure à 1 quelle que soit la valeur de l’angle t. C’est une propriété de base des fonctions circulaires que tu peut retrouver grâce au dessin si tu l’as oubliée. Maintenant il ne reste plus qu’à faire vraiment la démonstration à partir de cet encadrement de la fonction sin auquel le dessin t’a juste permis de penser (le dessin ne constitue pas une démonstration à lui tout seul). Tu sais donc désormais que -1 < sin(t) < 1 quelle que soit la valeur de t par propriété des fonctions circulaires. Donc quelle que soit la valeur de x on aura aussi -1 < sin(2x-Pi/4) < 1
Il ne reste plus qu’à faire apparaître la fonction f(x) dans ces inégalités. Pour faire cela il suffit de multiplier partout par racine(2) ce que tu as le droit de faire sans changer le sens des inégalités PARCEQUE racine(2) est positif (c’est très important dans ta démonstration que tu dises ce point là car sinon ta démonstration n’a pas de sens. Tu obtiens alors
-racine(2) < racine(2)*sin(2x-Pi/4) < racine(2)
C'est-à-dire
-racine(2) < f(x) < racine(2)

Pour la question 3 on te demande de résoudre l’équation f(x) = 1 en te disant que tu peut t’aider du changement de variable X = 2x-Pi/4) c'est-à-dire que l’équation que l’on te demande de résoudre revient à
racine(2)*sin(X) = 1
Quand tu as une équation comme celle-ci qui mélange des fonctions circulaires d’un coté avec des réels de l’autre tu ne peut pas la résoudre directement car d’un coté tu cherches un angle (à l’intérieur de la fonction circulaire) et de l’autre tu as un réel qui n’est pas un angle. Tu dois donc d’abord réécrire l’équation de telle sorte que tu cherches la même chose de chaque coté. C’est pour cela que l’on te dit d’écrire cette équation sous la forme d’une équation du type sin(X) = sin(alpha) donc on te demande de transformer le réel 1/racine(2) en sin(alpha) avec alpha le bon angle pour que l’on ait sin(alpha) = 1/racine(2)= racine(2)/2
Or racine(2)/2 correspond à une des 3 valeur du sin que tu dois connaître par cœur et que tu peut retrouver sur le dessin du début. Je te donne un petit tableau avec les valeur des angles et les valeurs des cos et sin correspondant que tu dois IMPERATIVEMENT savoir par cœur (dans ce tableau rac veut dire racine):
Valeur de t Pi/6 Pi/4 Pi/3
cos(t) 1/2 rac(2)/2 rac(3)/2
sin(t) rac(3)/2 rac(2)/2 1/2

Si tu connais ces valeurs par cœur alors tu vois que pour avoir sin(alpha) = racine(2)/2 il faut que alpha = Pi/4
Donc résoudre ton équation c’est la même chose que de résoudre
Sin(X) = sin(Pi/4)
C'est-à-dire que tu peux te ramener à une équation sur les angles
X = Pi/4 + 2kPi où k est un entier relatif. En effet chaque fosi que tu rajoute un multiple de 2Pi à un angle tu vois sur le dessin du cercle du début que tu retombe sur la même valeur de l’angle car cela correspond à rajouter un tour complet sur ton cercle et donc tu retombes sur le même point P. Donc quand tu calcules un angles tu dois toujours penser à rajouter la possibilité de faire 1 ou plusieurs tour de plus car cela ne changera pas la valeur du cos et du sin car le point P restera le même.
X s’écrit 2x – Pi/4
Il ne te reste plus alors qu’à résoudre l’équation suivante
2x – Pi/4 = Pi/4 + 2kPi
En résolvant cette équation tu vas trouver plusieurs valeurs d’angle puisqu’il y aura k dedans qui peut être n’importe quelle entier relatif (c'est-à-dire -5, -4, aussi bien que 2 ou 7 ou 0 par exemple). Cela veut dire que TOUS ces angles sont solutions de ton équation.

Voilà j’espère que ces indications t’aideront pour cet exercice mais aussi pour n’importe quel exercice sur les fonctions « circulaires ». Si il y a quelque chose que tu n’as pas bien compris n’hésite pas à nous redemander.

Bon courage et à bientôt Christian.

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