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Calcul vectoriel

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Nathalie,

C’est un exercice où on pourrait avoir beaucoup d’information en utilisant des théorèmes classique de géométrie euclidienne sur la concourance des médianes d’un triangle par exemple mais c’est un piège dans lequel il ne faut pas tomber. On te demande une relation vectorielle et il suffit pour la démontrer d’utiliser la définition vectorielle du centre de gravité.
En effet, par définition un centre de gravité c’est un isobarycentre c'est-à-dire un barycentre de points affectés du même « poids ». Dans le cas du triangle cela signifie que on peut écrire par définition du barycentre G que l’on a
GA + GB + GC = 0 (a) (Attention ce sont bien des vecteurs que j’ai écris ici)
Tu veux obtenir une relation entre AG et AI donc dans l’expression (a) il te suffit d’exprimer GB + GC en fonction de AI. Pour cela on va utiliser la deuxième hypothèse de ton énoncé qui est que I est le milieu du segment BC. Pour pouvoir s’en servie on va introduire I dans les vecteurs GB et GC. L’expression (a) devient alors :
GA + (GI + IB) + (GI+ IC) = 0 (b)
Or par définition comme I est le milieu de BC on a en vectoriel : IB = -IC donc (b) devient
GA + 2GI = 0
On est presque arrivé à la solution mais il reste à exprimer GI en fonction de AI. Là encore on va utiliser la souplesse des vecteurs pour simplement introduire le point qui nous intéresse dans l’expression de GI. On obtient alors :
GA + 2(GA + AI) = 0
Donc -3GA = 2AI
Et finalement AG = 2/3AI

Pour les deux autres relations en fait à partir de la définition du centre de gravité (a) il te suffit d’introduire les points J ou K au lieu du point I comme je viens de le faire et tu obtiendras deux autres relation sur les deux autres médianes CJ et BK.

Voilà Nathalie. J’espère que cela t’aidera.

A bientôt et bonnes fêtes de fin d’année.
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