Parallelogramme et demonstration d'isometrie

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		Je n'arrive pas à démontrer(...)
		Rebonjour Simon, Comme pour lire

Rebonjour Simon,

Comme pour l’exercice précédent il faut absolument que tu te fasses un dessin. On te demande de démontrer d’abord que AEO et CFO sont deux triangles isométriques. (ATTENTION, dans ce que tu nous as envoyé tu as l’air de chercher à démontrer que le parallélogramme ABCD est rectangle alors que ce n’est pas du tout ce que te demandes l’énoncé) Comme pour l’exercice précédent, un moyen de démontrer que deux triangles sont isométriques c’est de monter qu’ils ont à la fois deux cotés égaux et un angle égal. On va montrer que AO = OC, que AE = CF et que l’angle OAE est égal à l’angle OCF. Une fosi que l’on aura prouvé ces trois conditions alors on aura prouvé que les deux triangles sont isométriques.
Prouvons que AO = OC :
Par définition le milieu d’un parallélogramme c’est l’intersection de ses deux diagonales. Dans un parallélogramme les diagonales se coupent en leur milieu. Donc par définition du milieu d’un parallélogramme O est le milieu de la diagonale AC donc on a bien AO = OC
Prouvons que AE = CF :
Il faut se demander ce que l’on sait dans l’énoncé sur ces deux cotés ? On sait que ce sont les cotés de deux triangles isocèles ADE et BCF. Dans un triangle isocèle il y a deux cotés égaux. Dans ADE on a AD = DE (car ADE est isocèle en D) et dans BCF on a BC = BF. Mais on sait en plus que les cotés AD et BC sont les cotés opposés d’un parallélogramme donc par définition du parallélogramme ils sont égaux. C'est-à-dire que AD = BC. Donc finalement on sait que AD = DE = BC = BF. En plus les triangles BCF et ADE sont des triangles rectangles. Donc finalement les triangles ADE et BCF sont deux triangles qui ont deux cotés égaux et un angle égal. C'est-à-dire que par définition ce sont des triangles isométriques ! Or dans des triangles isométriques tu sais que les cotés sont égaux deux à deux donc on a AE = CF.
Prouvons que les angles OAE et OCF sont égaux.

Dans les triangles ADE et BCF qui sont isométriques on sait que les angles EAD et BCF sont égaux. Par ailleurs AC est la diagonale d’un parallélogramme et cela fait partie des propriétés d’un parallélogramme (étant donné que les droites AD et BC sont parallèles) de dire que les angles DAC et BCA sont égaux. Donc finalement en sommant les angles BCF et ACB d’un coté, et en sommant les angles CAD et DAE de l’autre coté on obtiens finalement que les angles OAE et OCF sont égaux. Tu ne peux pas comprendre cette démonstration si tu ne suit pas sur ton dessin à quoi correspondent chacun de ces angles.
Finalement on a prouvé les trois conditions nécessaires pour prouver que les triangles AEO et COF sont isométriques.

Ensuite pour montrer que O est le milieu de EF il te suffit d’utiliser que les triangles COF et EAO sont isométriques pour dire que EO = OF et donc que O est le milieu de EF.

Voilà Simon. Je t’envoie une réponse à ton troisième exercice juste un peu plus tard.
A très bientôt.

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