en une : Le raisonnement par récurrence

Simplification d'une expression

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Bonjour Karim,

Lorsque tu dois simplifier des fraction avec des radicaux au dénominateur la première chose que tu dois faire c’est d’essayer de faire « disparaître » les radicaux. Pour cela il n’y a qu’un seul moyen : trouver un moyen de faire apparaître le carré de la racine. Dans ton cas tu as à chaque fois la somme ou la différence d’un nombre et d’un radical. Il faut alors avoir le réflexe d’utiliser une identité remarquable que tu dois connaître par cœur :
(a+b)(a-b) = (a^2-b^2)
tu vois qu’avec cette identité tu peux faire apparaître le carré des deux nombres a et b à partir de la somme ou de la différence de a et b. Comme tu ne change pas la valeur d’une fraction si tu multiplie le numérateur ET le dénominateur par la même valeur tu peux alors multiplier la première fraction en haut ET en bas par (7-racine(3) ) et la deuxième par (7+racine(3)). En faisant cela tu vas d’une part faire disparaître les racine(3) au dénominateur des fraction grâce à l’identité remarquable et en même temps tu vas mettre les deux fraction au même dénominateur. En effet le dénominateur des deux fractions sera maintenant :
(7-racine(3) ) *(7+racine(3)) = 7^2 – racine(3)^2 = 49 – 3 = 46 (identité remarquable)

comme les deux fraction ont maintenant le même dénominateur égal à 46 tu peux alors développer les numérateur et les simplifier tous ensemble. Je te rappelle que pour faire apparaître les carrés des racines le premier numérateur est devenu :
(5+racine(3))*(7-racine(3))
et le deuxième numérateur est devenu
(5-racine(3))*(7+racine(3))
Il ne te reste qu’à développer et simplifier les deux numérateurs et tu arriveras finalement à une fraction unique égale à
4(racine3)/46 que tu peux encore simplifier par 2 en haut et en bas.

Voilà Karim. J’espère que cela t’aidera et à très bientôt.
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