Similitudes

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		Soit µun nombre complexe non(...)
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Soit µun nombre complexe non nul et la suite z(n) définie par z0=0 et pr tt n de N, z(n+1)=µz(n)+i
1)a-Calculer z1, z2, z3, z4.
b-Exprimer z(n) en fonction de n pour µ=1.En distinguant suivant les valeurs de n, exprimer z(n) en fonction de n pour µ=-1.
2)Démontrer que z(n+2)=(1+l)z(n+1)-µz(n)pr tt n de N.
3)Réciproquement, montrer que si une suite u(n) est telle que u(0)=0, u(1)=i et u(n+2)=(1+l)u(n+1)-lu(n) pr tt n de N, elle est confondue avec z(n).
4)On considère ds le plan orienté un repère orthonormé direct (O,u,v). Soit u le nbre complexe de module r, r>0, et d'argument q, 0 On définit la suite de points (An) de la façon suivante: A0 est l'origine du repère, A1 est le point d'affixe i, pr tt n de N, A(n+2) est l'image de A(n+1)par la similitude directe de centre A(n), de rapport r et d'angle q.
a-Exprimer z(n+2) en fonction de z(n+1) et de z(n).
b-En déduire, en utilisant la question 3, que A(n+1) est l'image de A(n) par une similitude directe s indépendante de n.
c-Montrer que si r=2cosq, s est une rotation et préciser son angle et son centre. Qu'en déduit-on pour les cotes de la ligne polygonale A0A1A2...An...? Peut-on choisir q de telle sorte qu'une telle ligne soit fermée?
d-Préciser les éléments caractéristiques de s lorsque r=1/(2cosq). Démontrer que dans ce cas les points A(n) se trouvent tous situes sur 2 droites perpendiculaires et que les vecteurs A(n)A(n+1) et A(n+1)A(n+2) sont orthogonaux. Représenter sur un dessin les points A0, A1, ..., A5 en supposant q=p/3 et en prenant 2cm pour unité graphique.

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