en une : Sujet : causes de la crise de 1929

Limaçon de pascal suite

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour !

l'énoncé semble comporter des imprécisions :. domaine de définition de thèta, aux quatrième et cinquième lignes, ou la sixième ligne, (avec un "Voir NB" qui n'a l'air de rien signifier ...)

1.a A appartient à la droite (D), donc ses coordonnées xA et yA vérifient l'équation de (D) : yA=sin(thèta)/cos(thèta).xA (cette équation se déduit des coordonnées du vecteur u, et du fait que (D) passe en O).
Les coordonnées de A vérifient aussi l'équation du cercle C : (xA-xw)^2+(yA-yw)^2=R^2
c'est à dire : (xA-R)^2+yA^2=R^2
Il suffit ensuite de remplacer, dans cette deuxième équation, yA par son expression donnée par l'équation de (D) ...
1.b Normalement, tu as trouvé à la question 1.a : xA=2R.cos^2(thèta) et yA=R.sin(2thèta). Comme on a : vecteur AM=e.vecteur u, alors : xM=xA+e.xu et yM=yA+e.yu ; tu peux donc en déduire les coordonnées du point M en fonction de thèta.
1.c Cette question ne présente pas de piège : il suffit de calculer les dérivées de xM et yM par rapport à thèta pour obtenir les coordonnées de v(thèta) ; tu dois trouver :
x(v)=-4Rcos(thèta)sin(thèta)-e.sin(thèta)
y(v)=2Rcos(2thèta)+e.cos(thèta)
1.d A', le point diamétralement opposé à A sur (C), est donc le symétrique de A par rapport au centre du cercle, w. Donc : xw-xA'=xA-xw et yw-yA'=yA-yw : utilise cette formule pour calculer xA' et yA'.
1.e Cette question est très calculatoire, mais sans piège particulier : il faut poser le procuit scalaire des vecteurs A'M et v(thèta) (en utilisant la formule : produit scalaire=xx'+yy'), développer cette expression (ne prends pas peur en la voyant !), puis éliminer méthodiquement les termes qui s'annulent. Pour les faire apparaître, utilise tes formules de trigonométrie, et n'oublie pas que yA=sin(thèta)/cos(thèta).xA (équation de la droite (D)) ...
1.f Tu viens de montrer que les vecteurs A'M et v(thèta) (qui est un vecteur directeur de la tangente au limaçon en M) sont orthogonaux. Donc, si on a un point M donné : la tangente au limaçon en M est la droite qui coupe (A'M) perpendiculairement en M.
1.g C'est une question de construction : trace le cercle C, puis, pour plusieurs valeurs de thèta
(donc : plusieurs orientations de la droite (D)), trace le point A, et le point M qui en découle ; relie ensuite les différents points M par une courbe régulière (tu peux t'aider des tangentes au limaçon pour donner une forme plus précise au voisinage de chaque point M) ...
2. Je ne vois pas ce que tu appelles la "petite boucle du limaçon" ; peux-tu être plus précis pour la définition de M ?
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