en une : Le lexique de français

Devoire de math (fonction)

Mathematiques > sujets expliqués - 26/02/2009 - correction
                
Bonjour !

Pour les questions 1 et 2 de la partie 2, votre solution est bonne: il faut préciser quel théorème vous permet d'affirmer que HB^2+OH^2=OB^2.

3e partie:

f(x) désigne, dans tout le problème, la même chose: l'aire de OBC. C'est indiqué en haut de l'énoncé, avant même la partie 1. Donc ça ne change pas jusqu'à la fin, sauf si l'énoncé le dit.

1) (HK) est la hauteur du triangle OHB, issue du sommet H et de pied K. Ainsi, l'aire du triangle OHB est donnée par la formule "1/2*base*hauteur", c'est à dire 1/2*10*HK=5*HK.

2) Rappelez vous que dans un triangle RECTANGLE, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypothénuse. Le cercle de diamètre [OB] est donc le cercle circonscrit au triangle OBH, qui est rectangle en H.

3) L'aire de OBC vaut deux fois celle de OBH. Or HK est plus petit que IH où I est le milieu de [OB], puisque par Pythagore, IH^2=IK^2+HK^2 qui est plus grand que HK^2.

4) Si HK=5=IH :
alors, par le même raisonnement que dans la question précédente, IK=0, donc K=I (je rappelle IH^2=IK^2+HK^2 et HK=IH).
Donc OK=OI=5, puisque I est le milieu de [OB], donc le triangle OHK est isocèle en K.

Or il est aussi rectangle en K.
Donc, puisque la somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180° et que les angles (KOH) et (OHK) ont même mesure, on a (dans le triangle OHK): (HOK) (pareil que (HOB)) mesure 45°.

5) Du coup, (HOB) mesure 45°, et on sait que l'angle (OHB) mesure 90°. Donc, en appliquant la propriété qui dit que la somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180° au triangle OHB, on déduit que celui-ci est isocèle en H.
Donc OH=HB=x.
Ainsi, en appliquant Pythagore au même triangle, on a: 2x^2=100, donc x=racine(50).

A présent, on calcule f(x) pour x=racine(50), et on obtient 50.
Or on sait que f(x) est toujours inférieur à 50, d'après la question 3.
Donc la valeur maximale de f est 50, atteinte pour x=racine(50).

Cordialement.
Documents attachés :    aucun document joint.