On cherche le(s) plan(s) (P) d'équation ax+by+cz+d=0.
On cherche donc à déterminer (a,b,c,d). (a,b,c) est un vecteur normal de P.
Exploitons les hypothèses :
-> (D) appartient à (P), donc son vecteur directeur et orthogonal à (a,b,c). Le vecteur directeur de D est trouvé en mettant son équation sous forme paramétrique par exemple : (0,1,1) est un vecteur directeur de D. Il est orthogonal à (a,b,c), ce qui donne la première équation :
b+c=0
->P coupe P1 et P2 suivant deux droites orthogonales. Ces droites sont d'équations :
ax+by+cz+d=0
y=5x
et
ax+by+cz+d=0
y=-5x
on trouve un de leurs vecteurs directeurs, respectivement
et
par exemple.
On écrit ensuite que ces vecteurs sont orthogonaux, ce qui donne la seconde équation :
25b²-a² = -24c²
-> on résout alors le système formé par ces deux équations, et on trouve : b= -c, a=7b ou a = -7b
L'équation de P est alors (7x+y-z)b +d = 0 ou (-7x +y-z)b+d=0.
Prenons le point (7/6, -8/3,0) dont on sait qu'il appartient à P (car il appartient à D) et injectons ses coordonnées dans les équations. Pour la première, cela mène Ã
, pour la seconde Ã
.
On trouve ainsi que
les deux plans répondant aux hypothèses sont ceux d'équations : et
Voilà , j'espère ne pas m'être trompé dans les calculs.