Enoncé & travail préliminaire :  On veut vendre un jus de pomme a partir de jus de pomme à cidre et de jus de pomme sucrées.
A la frabrication :
* 1 litre de jus de pomme à cidre revient à 0,40 ?
* 1 litre de jus de pomme sucréees revient à 0,80 ?
On effectue les mélange suivants :
* 1er melange: Dans une barrique de 150 litres, on verse x litres de jus de pomme sucrées et on complete avec l'autre jus
* 2eme melange: Dans une barrique de 300 litres, on verse x litres
de jus de pomme à cidre et on complete avec l'autre jus.

1. Quelles valeurs peut prendre x ?
-> 1 La reponse est: pour la premiere barrique x peut prendre n'importe quellle valeur entre 0 et 150. Pour la deuxieme barrique x peut prendre n'importe quelle valeur entre 0 et 300.

2. On note p1 li prix de revient du litre du premier melange et p2 le prix de revient du deuxime melange.
a. Exprimez p1 et p2 en fonction de x . Entres quelles valeurs ces prix varient-ils ?
-> 2a)P1 = [0,8x+(150-x)*0,4]/150 = (0,8x+60-0,4x)/150 = 0,4 + 0,4x/150
P2 = [0,4x+(300-x)*0,8]/300 = (0,4x-0,8x+240)/300 = 0,8 - 0,4x/300
-> la réponse est :
P1=(0.8*x + 0.4*(150-x))/150
Si x=0 on a p1=(0.8*0+0.4*(150-0))/150=0.4
si x=150 on a p1=(0.8*150+0.4*(150-150))/150=0.8
donc p1 peut varier entre 0.4 et 0.8

P2=(0.4*x + 0.8*(300-x))/300
Pour les valeurs possible de p2: tu as montrer que x pouvais avoir nimporte quelle valeur entre 0 et 300.
Si x=0 on a p2=(0.40*0+0.80*(300-0))/300=0.8
Si x=300 on a p2=(0.40*300+0.80*(300-300))/300=0.4
donc p2 peut varier entre 0.8 et 0.4
P1 est croissant et varie de 0,4 à 0,4+0,4 = 0,8
P2 est décroissant et varie de 0,8 à 0,8 - 0,4*150/300 = 0,6

2. On note p1 li prix de revient du litre du premier melange et p2 le prix de revient du deuxime melange.
b. Pour quelle valeur de x ces prix sont-ils egaux ?

->2. b)
2. b)
(0.8*x + 0.4*(150-x))/150=(0.4*x + 0.8*(300-x))/300
comme 300=2*150 je simplifie l'equation
2*(0.8*x + 0.4*(150-x))=(0.4*x + 0.8*(300-x))
1.6*x+0.8*(150-x)=0.4*x+0.8*(300-x)
1.6*x+120-0.8*x=0.4*x+240-0.8*x
1.2*x=120
x=100 litres
(ou)
2b) 0,4 + 0,4x/150 = 0,8 - 0,4x/300
120/300 + 0,8x/300 = 240/300 - 0,4x/300
0,8x + 0,4x = 240-120;
1,2x = 120;
x = 100
pour x=100 litres p1=p2=0.66

2 c). Montrez que p2/p1= -1/2+375/x+150

2. c)
([0.4*x + 0.8*(300-x))/300]/[(0.8*x + 0.4*(150-x))/150]=
[(-0.4x+240)/300]/[(0.4x+60)/150]=
(-0.4x+240)/[(0.4x+60)*2]=
[0.4*(-x+600)]/[0.4*(x+150)*2]=
(-x+600)/[2*(x+150)]

Pour arriver au resultat demande je vais reecrire 600 comme la somme de -150 et 750

(-x-150+750)/2*(x+150)=
(-x-150)/2*(x+150) + 750/2*(x+150)
je simplifie
-1/2 + 375/(x+150)

(ou)
2c) P2/P1 = (0,8 - 0,4x/300) / ((0,4 + 0,4x/150)
= (240-0,4x)/(120+0,8x)
= (-60-0,4x)/(120+0,8x) + 300/(120+0,8x)
= -1/2 + 375/(150+x) 'on a multiplié par 1,25 le numérateur et le dénominateur du deuxième terme

d. Entre quelles valeurs extremes est compris le rapport p2/p1 ?
quand x=0 P2/p1=2 et quand x=300 p2/p1=0.33. ce sont les deux valeurs extremes du rapport
(ou)
2d) le rapport est décroissant dans l'intervalle [0;150]
x = 0; rapport = -1/2 + 375/150 = -1/2 + 5/2 = 4/2 = 2
x = 150; rapport = -1/2 + 375/300 = -2/4 + 5/4 = 3/4
preuve d'après la réponse à 2a)
P2 est maximum et P1 minimum pour la même valeur de x (0); P2/P1 = 0,8/0,4 = 2
P2 est minimum et P2 maximum pour la même valeur de x (150); P2/P1 = 0,6/0,8 = 3/4

mettre plus de 150 litres de jus de pomme sucrée dans une barrique de 150 litres n'a aucun sens