Sujet / exercice : Les suites numériques
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Enoncé & travail préliminaire :
Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre un exo sur les suites. J'y ai inclus
quelques recherches (voir à la fin).
Merci de m'aider, ca serait sympa.
Voici l'exo:
Soit U une suite de réels strictement plus grands que -1 et V la suite
définie par :
(attention : # veut dire que c'est le signe 'produit'.)
n
Vn = #(1+Ui)
i=0
1)étudier la convergence de V quand U converge vers une limite l>0 (on
pourra minorer V par une suite géométrique).
2)étudier la convergence de V quand U converge vers une limite l<0.
3)On suppose que U est une suite de réels strictement positifs et soit W la
suite définie par :
n
Wn= SOMME (Ui)
i=0
a)démontrer que pour tout x=>0, exp(x)=>1+x et en déduire que pour tous
réels a et b positifs ou nuls, on a :
1+a+b<=(1+a)(1+b)<=exp(a+b)
b)En deduire que pour tout n E N on a :
1+Wn<=Vn<=exp(Wn)
c)Etudier la monotonie des suites V et W.
d)Déduire des questions précédentes que la suites V est convergente si et
seulement si la suite W l'est.
*************************************
MES RECHERCHES pour le 3 :
Ln(Vn)= SOMME Ln(1+Ui) <= SOMME (Ui) = Wn
car si x=>0 alors Ln(1+x)<=x.
La suite Un converge donc elle est majorée et la suite Vn est donc
majorée...
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