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Mécanique des fluides (aide lignes courant et niveaux)

Physique > sujets expliqués - 09/02/2015 - correction
                
L'écoulement d'un fluide est décrit en variables Lagrangiennes par :

X(t)=X0
Y(t)=(1/2)*(Y0+Z0)exp(at)+(1/2)(Y0-Z0)exp(-at)
Z(t)=(1/2)*(Y0+Z0)exp(at)-(1/2)(Y0-Z0)exp(-at)

1) Déterminer les composantes de la vitesse et de l'accélération en variables Lagrangiennes puis Eulériennes.

-Variables Lagrangiennes:

Vect(P)
X(t)=X0
Y(t)=(1/2)*(Y0+Z0)exp(at)+(1/2)*(Y0-Z0)exp(-at)
Z(t)=(1/2)*(Y0+Z0)exp(at)-(1/2)*(Y0-Z0)exp(-at)

Vect(V)
u(t)=0
v(t)=(1/2)*a*(Y0+Z0)exp(at)-(1/2)*a*(Y0-Z0)exp(-at)
w(t)=(1/2)*a*(Y0+Z0)exp(at)+(1/2)*a*(Y0-Z0)exp(-at)

Vect(a)
(du(t)/dt)=0
(dv(t)/dt)=(1/2)*a²*(Y0+Z0)exp(at)+(1/2)*a²*(Y0-Z0)exp(-at)
(dw(t)/dt)=(1/2)*a²*(Y0+Z0)exp(at)-(1/2)*a²*(Y0-Z0)exp(-at)

-Variables Eulériennes:

Vect(P)
X(t)=X0
Y(t)=(1/2)*(Y0+Z0)exp(at)+(1/2)*(Y0-Z0)exp(-at)
Z(t)=(1/2)*(Y0+Z0)exp(at)-(1/2)*(Y0-Z0)exp(-at)

Y(t)-(1/2)*(Y0-Z0)exp(-at)=(1/2)*(Y0+Z0)exp(at)
Z(t)+(1/2)*(Y0-Z0)exp(-at)=(1/2)*(Y0+Z0)exp(at)

Equivalent à:

Y(t)-(1/2)*(Y0-Z0)exp(-at)=Z(t)+(1/2)*(Y0-Z0)exp(-at)

D'où exp(-at)=((Y(t)-Z(t))/(Y0-Z0))

On pose:

X(t)=X
Y(t)=Y
Z(t)=Z

Vect(V)
u=0
v=(1/2)*a*(Y0+Z0)((Y0-Z0)/(Y-Z))-(1/2)*a*(Y0-Z0)*((Y-Z)/(Y0-Z0))
w=(1/2)*a*(Y0+Z0)*((Y0-Z0)/(Y-Z))+(1/2)*a*(Y0-Z0)*((Y-Z)/(Y0-Z0))

Vect(a)
(du/dt)=0
(dv/dt)=(1/2)*a²*(Y0+Z0)*((Y0-Z0)/(Y-Z))+(1/2)*a²*(Y0-Z0)*((Y-Z)/(Y0-Z0))
(dw/dt)=(1/2)*a²*(Y0+Z0)*((Y0-Z0)/(Y-Z))-(1/2)*a²*(Y0-Z0)*((Y-Z)/(Y0-Z0))

2) L'écoulement est-il permanent ?
Oui l'écoulement est permanent car les variables ne dépendent pas du temps.

3)Donner l'équation des lignes de courants et tracer leur allures.

Je bloque à ce niveau. Je sais que:

Le vecteur vitesse doit être tangentiel donc:

Vect(V)*MM'=0

Vect(u,v,w)*(dx,dy,dz)=0

Equivalent à:

(dx/u)=(dy/v)=(dz/w)

Et quand je fais les calculs j'arrive à:

(Y0-ZO)+(Y-Z)=cste

Pour ma part cela fait pensé à l'équation d'un cercle mais n'est pas l'équation d'un cercle ?

4)Montrer que le champ de vitesse dérive d'une fonction potentielle dont on donnera l'expression analytique. Donner l'allure des lignes de niveaux.

Vect(Nabla)*Vect(V)=0

Equivalent à:

d=d rond

dw/dy-dv/dz=0 équivaut à (1/2)a=0
d'où a=0
du/dz-dw/dx=0 équivaut à a=0
dv/dx-du/dy=0 équivaut à a=0

Par identification: Vect(Nabla)*(Vect(Nabla).Phi)=0 D'où Vect(Nabla).Phi=Vect(V)

Donc Vect(V)=Vect(grad(Phi))

Le champvitesse dérive bien d'une fonction potentielle.

L'allure des lignes de niveaux je voix pas comment faire parcontre.

5) Vérifier par le calcul que les lignes de niveau sont orthogonales aux lignes de courant.

Impossible de répondre car je n'ai pas la réponse à la question précédente. Si quelqu'un peut m'aider se serait géniale merci d'avance.
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