en une : Le raisonnement par récurrence

Problème concernant les limites de suite

Mathematiques > sujets expliqués - 08/09/2008 - correction
                
Pas de panique ! Les suites, c'est avant tout du bon sens et de la manipulation arithmétique.

% Pour le bon sens, un exemple de raisonnement que tu as dû voir :
Si on sait que u(n) a un maximum, et qu'on arrive à montrer qu'elle est strictement croissante, alors forcément ses "marches" u(n), u(n+1), u(n+2) etc. vont se retrouver coincées sous le "toit" du maximum ! C'est comme continuer de monter sur une échelle souple, dans un gymnase...

% Ensuite, montrer que la suite est croissante, c'est de l'arithmétique. Le plus souvent on "traduit" ce qu'on voit en équations : il faut montrer que chaque "marche" est plus haute que la précédente, càd : u(n+1) > u(n), et souvent on fait la différence ou le rapport des deux termes. Ou encore, on peut d'abord chercher à "exprimer u(n+1) en fonction de u(n)", ce qui permet de mieux voir comment la suite est construite [on étudie en fait simplement la fonction f qui relie : u(n+1)=f( u(n) ) ].

L'avantage des suites est qu'elles sont "discrètes", c'est-à-dire qu'on peut en décortiquer les termes, ce qui n'est pas le cas par exemple pour les intégrales, qui sont "continues".

% Dans cet exercice, pour montrer que "la valeur u(n), qui est une somme, dépasse toujours un minimum M=n/2" on peut s'attaquer d'abord à ses termes individuels, qui sont plus simples. Cela donne : "on arrive à montrer que chacun des termes est supérieur à P=k/(1+n), puis il suffit de sommer ces n termes qui seront donc inférieurs à n*P=M".

J'espère que ce résumé de la "méthode suite" met un peu les choses au clair.
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Pour en venir à la résolution de l'exercice, utiliser un tableur comme le conseille la question 1)b) est un bon départ. Ca permet de se faire une première idée sur la logique de la suite (qui ici est tordue, avec l'inverse, la racine et le produit n*k). J'ai fait un fichier Excel que je t'envoie : on voit que la suite est quasiment une droite en fonction de n ! Et pourtant la dernière question de l'exercice est "donner la limite de u(n)"... Donc il doit y avoir une erreur. Peux-tu présenter cela à ton prof ? Si l'énoncé est erronné, ca expliquerait pourquoi je trouve sportif d'exprimer u(n+1) en fonction de u(n).

A bientôt avec la réponse de ton prof, j'espère !

NB : Les questions 2)a) à 2)c) sont indépendantes du 1), tu peux les faire sans problème.
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