en une : Le raisonnement par récurrence

Probabilités

Mathematiques > sujets expliqués - 05/07/2008 - Question de cours
                
Bonjour,

Lorsque vous avez complété votre arbre, vous avez dû trouver tout d’abord deux branches : N, probabilité 2/5, et B probabilité 3/5. Ensuite, au bout de chacune de ces branches, vous avez à nouveau le choix entre B et N. Si B a été tiré en premier, il reste ensuite 2 B et 2 N, donc la probabilité de B comme N est alors ½. Si N a été tiré en premier, il reste 1N et 3B, d’où les probabilités des deuxièmes branches qui sont à partir de ce n½ud respectivement ¼ et 3/4 (plus que 4 boules lors du deuxième tirage car c’est sans remise).

Vous avez donc avec cet arbre 4 événements possibles : NN, NB, BN, BB. Pour calculer la probabilité d’un événement en bout de branche, on multiplie les probabilités présentes sur les branches à traverser pour arriver à cette solution. En effet, d’un point de vue logique, il s’agit d’un « et » : j’ai par exemple blanc et blanc, pas l’un ou l’autre. Le « et » logique se traduit en probabilités par une multiplication (moyen mnémotechnique : « avec et, j’ai les deux à la fois », donc c’est fois donc multiplié, si cela peut vous aider éventuellement). Ainsi, la probabilité de BB (blanc puis blanc, donc blanc « et » blanc) est : proba de B au 1er tirage x proba de B au 2nd tirage = 3/5 x ½ = 3/10. donc P(BB) = 3/10. De même, vous allez trouver très simplement P(NN) = 2/5*1/4 = 1/10, P(NB)= 3/10 et P(BN)=3/10. on vérifie au passage que la somme des probabilités des 4 événements faits bien 1. voilà pour le calcul de chaque branche.

Ensuite, avoir deux couleurs différentes, c’est avoir BN ou NB (cette fois, on a un « ou » logique, pas un « et », l’un des deux suffit pour que la proposition soit vraie). Le « ou » se traduit lui par l’addition en calcul probabiliste. Donc p = P(NB) + P(BN) = 3/5.

Ce dont il faut se souvenir c’est donc les deux règles de calculs de proba sur un arbre : multiplication quand on fait des « et » sur des branches successives pour arriver au bout, addition quand on a des « ou », des propositions qui incluent plusieurs solutions de bouts de branches.

J’espère que tout est clair et je vous souhaite bon courage dans vos dernières révisions et bonne chance pour cet oral. Bonne soirée.
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