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Mathematiques > sujets expliqués - 18/06/2008 - correction

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Bonsoir!

La dérivée de f est x(x-1)/(2*(x+1))

Le dénominateur est toujours strictement positif (on est sur ]-1;infini( et le numérateur est un polynôme du second degré de coeff dominant >0.
Donc il est négatif entre ser racines, positif à l'extérieur.
Donc f est décroissante sur [0;1] et croissante partout ailleurs.

Enfin, étant décroissante sur [0;1], f est plus petite que sa valeur en 0 sur cet intervalle.
Donc pour x dans [0;1], f(x) négatif ou nul.
D'où l'inégalité recherchée.

Enfin, si n est un entier naturel non nul, 1/n est dans [0;1] donc ln(1+1/n)<=1/n-1/4n^2. ("<=" signifie "inférieur ou égal).
Donc en multipliant des deux cîtés par n et en passant à l'exponentielle on a fini la première partie.
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