Des études de fonctions

Mathematiques > sujets expliqués - 18/05/2008 - Question simple

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		Bonjour, on me demande d'àlire
		Boujour, En ce qui concerne lire
		L'autre fonction est en réali lire
		Bonjour, OK, c'etait de ma lire

Bonjour,

OK, c'etait de ma faute, j'avais compris racine(3/2) dans f'(x) alors que c'est racine(3)/2.

voila donc la marche a suivre :

f(x)= (1+(racine 3)*sin(x))/(1+cos(x))
la fonction est de la forme u/v, donc la formule de dérivation te dit que la dérivée sera égale a : f'(x) = (u' * v - v' * u) / v²
on a donc u(x) = 1+(racine 3)*sin(x) ;
on trouve alors u'(x) = (racine 3)*cos(x)

on a aussi v(x) = 1+cos(x) ;
on trouve alors v '(x)= -sin(x)

on applique alors la formule et on trouve :
f'(x) = [ (racine 3)*cos(x)*(1+cos(x) ) + sin(x)*(1+(racine 3)*sin(x)) ] / (1+cos(x))²

tu remarquera que le dénominateur est exactement ce que l'on te demande de trouver, on ne va donc plus y toucher.
Par contre, il faut modifier le numérateur pour arriver à la forme demandée.

en développant les parenthèses, on obtient :
f '(x) = [ (racine 3)*cos(x) + (racine 3)*cos(x)² + sin(x) + (racine 3)*sin(x)² ] / (1+cos(x))²

On peut alors mettre le racine3 en facteur pour les termes en sinus carre et cosinus carre
Le numerateur devient : (racine 3)*[cos(x)² + sin(x)²] + (racine 3)*cos(x) + sin(x)
Or cos(x)² + sin(x)² = 1
Le numerateur est (racine 3)*cos(x) + sin(x) + (racine 3)
En mettant 2 en facteur, on obtient :
F’(x) = 2[(racine 3)/2*cos(x) + sin(x)/2 + (racine 3)/2]/ (1+cos(x))²
Tu remarque qu’il ne nous reste plus qu’a transformer [(racine 3)/2*cos(x) + sin(x)/2] en cos(x-pi/6)
Or on sait que racine(3)/2 = cos(pi/6) et que 1 /2 = sin(pi/6)
On peut donc appliquer la formule de trigonométrie cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b
Avec a=x et b=pi/6
Ce qui nous donne cos(x-pi/6) = [cos(x) *(racine 3)/2 + sin(x)*1/2]
Et on tombe sur le résultat !

Pour ce qui est des cosinus au carré, c’est juste une question de notation. Ca veut dire que cos(x) ² = cos²(x) = (cos x) ² ; par contre, attention cos x² est égal a cos (x²) et non pas cos (x) ².
Ta calculatrice n’accepte peut-être pas la notation cos²(x), mais elle acceptera surement (cos (x) )².

Bonne continuation
Christophe

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