Correction d'exercices

Mathematiques > sujets expliqués - 01/04/2008 - correction

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		Ce sont des exercices non notàlire
		Bonjour, Merci de poser une lire
		Daccord... Je suggère donc l' lire
		1) A= (2 1 α; 0 1 0; 0 1 lire

1)
A= (2 1 α; 0 1 0; 0 1 2)

2)
Soit M une matrice carrée d'ordre n à coefficients. Le polynôme caractéristique de M, noté pM(X), est le polynôme défini par

p_M(X)=det(XI_n-M)

où In désigne la matrice unité d'ordre n.
Dans ce cas, (X.I - A) = (x-2 -1 -α; 0 x-1 0; 0 -1 x-2).
ce qui donne X(f)=(λ-2)(λ-1)(λ-2)

Une application est surjective si et seulement si tout élément de son ensemble d'arrivée a au moins un antécédent, ce qui le cas de f

3)
X(f)=0 pour λ=1 ou λ=2
Donc λ=1 et μ=2
En calculant (A - λ.I) on trouve une matrice de rang 2. La dimension du sous-espace est n - rang (A - λ.I) = 1
Alors à partir de A.v= λ.v = v on trouve v= ( 1; 1/(α-1); -1/(α-1))

4)
( A - μ.I) v = 0 donne ( v2 + α. v3 ) =0 équation d'un plan.
D'où par exemple u1= (1; α; -1) et u2=(1; 1; -1/ α)

5)
On a déjà montré que Eλ est de dimension 1. Le système des eq est 1 + y + α.z = 0 et y+z=0
On peut donner une base unidimensionnel pour un sous-espace de dimension 1.

6)
Rang (A) =3 = n ---> diagonalisable

B c'est la matrice des vecteurs propres déja calculés
On définit ainsi la matrice de passage de B à B', notée P_B^{B'} :

P_B^{B'} = (a_{i,j})_{i,j=1}^n \in \mathcal M_n(\mathbb K) telle que \forall j \in [\![1,n]\!], \quad e'_j=\sum_{i=1}^n a_{i,j}e_i

Les colonnes de cette matrice ne sont autres que les vecteurs de la nouvelle base, exprimés dans l'ancienne base.

7)
B= P^-1 . A . P

La matrice inverse de A dans la base B est (1/2 0 0; 0 1 0; 0 0 1/2)

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