en une : Le raisonnement par récurrence

Problème puissance exposant entier relatif

Mathematiques > sujets expliqués - 18/02/2008 - correction
                
Bonsoir,

1) Il reste en 2006 17.108 hectares de forêt sur Terre et il en disparaît 15. 106 hectares chaque année (car 1 million, c’est 10 puissance 6). Pour calculer ce qu’il restait en 2000, il faut donc partir du chiffre 2006 et ajouter six fois ce qui disparaît en un an (car 2006-2000=6). Faisons ce calcul :
17.108 + 6x15. 106 = 17.108 + 90. 106 = 106 (17x10² +90) = 106 (17x10² +90) = 1790. 106
Soit en notation scientifique : 1.79.10^3.10^6 = 1,79. 109 hectares.
(le détail des calculs est basé sur la factorisation par 10^6 avec les règles habituelles de calcul sur les puissances, qui permettent aussi de trouver la notation scientifique).

Pour l’écriture en lettres, je vous suggère de repasser en millions (10^6) : 1790 millions, à mettre en lettres.

Enfin, on utilise la correspondance : 1 ha = 10 000 m², soit 10^4 m². On divise donc le résultat en notation scientifique qu’on divise par 10^, ce qui donne, d’après les règles usuelles sur les puissances : 1,79.10^5 = (comme on vous demande l’écriture décimale) = 179 000 m².

2) De même, on a aujourd’hui 17.108 hectares de forêt et chaque année il en disparaît 15. 106 hectares. Donc au bout de la xième année, il ne reste plus que 17.108 – x.15. 106.
On veut trouver le nombre d’années x tel qu’il reste 0 hectare, soit 17.108 – x.15. 106 = 0, qu’on résout (équation du premier degré en x).

Il vient x = (17.108)/( 15. 106) = 17/15 * 100 = 113.33333, soit environ 114 ans (on arrondit à l’unité supérieure pour avoir la période au bout de laquelle tout aura disparu) : environ 114 ans au final.

Tout l’exercice repose donc sur l’ajout ou le retrait du nombre d’années x la perte d’une année par rapport à la référence de 2006.

J’espère que tout est clair à présent et vous souhaite une bonne soirée.
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