Comment il faut procédé pour trouver la somme ?

Mathematiques > sujets expliqués - 06/02/2008 - correction

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Bonsoir,

Il s’agit d’un problème de trois équations à trois inconnues, toutes du premier degré. En effet, nous recherchons trois nombres, et pour cela il nous faut bien trois équations indépendantes. Appelons x, y et z ces nombres, dans l’ordre (premier, deuxième, troisième dans l’énoncé).

Traduisons l’énoncé :

- le premier avec la moitié des deux autres fait la somme donnée, 68 : x (le premier) + y/2 + z/2 (moitié des deux autres) = 68 (somme donnée) ;
- de même : le second avec le tiers des autres : y + x/3 + z/3 = 68 ;
- toujours de même : le troisième avec le quart des autres : z + x/4 + y/4 = 68.

Soit le système suivant :
x + y/2 + z/2 = 68
x/3 + y + z/3 = 68
x/4 + y/4 + z = 68

Plusieurs solutions sont alors possibles. Dans tous les cas l’idée est de se ramener à deux équations à deux inconnues, système que l’on sait résoudre. Choisissons par exemple d’éliminer z et de tout exprimer en fonction de x et y, pour trouver déjà ces deux valeurs.

On tire z de la derni̬re ligne, ce qui est plus simple : z = 68 Р(x/4 + y/4) et on remplace z par cette valeur dans les deux premi̬res lignes.

Il vient :
x + y/2 + ½*(68 – x/4 – y/4) = 68
x/3 + y + 1/3*(68 – x/4 – y/4) = 68

On effectue les calculs et on trouve :
7x/8 + 3y/8 = 68 – 68/2 = 34
x/4 + 11y/12 = 136/3

On multiplie la première ligne par 8 et sur la seconde, on transforme x/4 en 3x/12 avant de multiplier par 12 toute la ligne ; on obtient :

7x + 3y = 272
3x + 11y = 544

On peut alors résoudre par substitution ou par combinaison linéaire (ou même graphiquement, pourquoi pas, en traçant les droites d’équation y = … et cherchant leur intersection).

Par exemple, faisons par combinaison linéaire 3 fois la première ligne moins 7 fois la deuxième pour éliminer les x. On trouve alors y = 3502/68 = 44.

On repart d’une des deux lignes au choix pour avoir directement x = 20.

Enfin, on remonte jusqu’à la ligne qui nous a donné z (68 – x/4 – y/4) et on remplace x et y par leurs valeurs, cela donne : z = 52.

On vérifie que le système fonctionne avec ces valeurs, ce qui est le cas.

On vérifie également que l’hypothèse complémentaire est vérifiée : tous les nombres solutions sont bien des entiers naturels (= positifs), donc la solution est bien acceptable à tous égards.

Les nombres cherchés sont 20, 44 et 52.

J’espère que tout est désormais clair et vous souhaite une bonne continuation.

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