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Mathematiques > sujets expliqués - 17/12/2007 - Question simple
                
Bonjour,

Voici donc quelques indications sur les constructions à la règle et au compas pour vous permettre d’avancer dans cet exercice :

1) Nous allons utiliser le théorème de Thalès en construisant une configuration de Thalès à partir de [MN] ; le théorème nous permettra de justifier la longueur du segment finalement obtenu.

On sait que MN = 3/5u, et on veut construire un segment [MM’] (on prend la même origine pour pouvoir utiliser les configurations de Thalès) tel que MM’ = u = 35/3 MN. On repart donc de MN. Voici la méthode de construction à adopter : tracez une demi-droite [Mx’) à partir de M (peu importe l’angle entre (MN) et (Mx’), seules comptent les longueurs et les droites parallèles dans les configurations de Thalès ; peu importe ensuite l’angle entre les deux sécantes). Placez ensuite le point A sur [Mx’) tel que MA = 3 unités (car c’est le dénominateur de la fraction de la relation ci-dessus). Par unité, on entend ici un écartement du compas ; encore une fois, on est ici dans les rapports, peu importe donc la longueur exacte, du moment que les rapports sont respectés, i.e. ici les écartements de compas constants. De même, placez sur cette droite B tel que MB = 5. Sur [Mx’) vous devez donc avoir dans l’ordre les points M, A et B. Tracez alors le segment [AN] puis la parallèle à (AN) qui passe par B. l’intersection de cette parallèle avec la droite issue de [MN] est le point MM’. Vous devez trouver M’ après N et obtenir MM’ = u ; nous sommes dans une configuration classique de Thalès (pas en papillon).

Le théorème nous donne alors la justification suivante avec l’égalité des rapports : MA/MB = MN /MM’ d’où MM’ = MN x MB/MA = 3/5u x 5/3 = u.

2) Pour ce cas, on construit un segment [PP’] tel que PP’ = v avec PQ = 5/3v, donc PP’ = 3/5PQ. On place comme ci-dessus A et B, A à 5 unités de P (car au dénominateur) et B à 3 unités de P. Puis on relie A à Q et on trace la parallèle qui passe par B. On obtient de même P’ sur [PQ], entre P et Q cette fois, ce qui est logique puisque v<5/3v. Les justifications de calcul sont les mêmes qu’en 1.

Ceci fait, on a obtenu un segment de longueur v ; on en aligne un juste à côté de longueur v également, pour obtenir un nouveau segment de longueur 2v, de milieu S bien connu du coup. On trace alors le cercle de centre S et de rayon v. On trace alors le rayon de longueur v toujours qui est perpendiculaire en S à notre segment de longueur 2v de départ. On a alors le segment de droite et le segment perpendiculaire qui une fois reliés permettent de tracer un triangle, rectangle et isocèle en S du coup, de côté v. On applique alors le théorème de Pythagore : on cherche la longueur de l’hypoténuse. Son carré vaut v² + v² = 2v². Donc la longueur de l’hypoténuse est racine de 2 fois v : l’hypoténuse est le segment de longueur recherchée.

En espérant vous avoir éclairé sur ces difficultés, malgré l’absence de schéma, je vous souhaite bon travail.
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