Correction d'un devoir de math
Mathematiques > sujets expliqués - 06/11/2007 - correction
1/
il s'agit d'un bête polynôme du second degré, il suffit de calculer delta, puis de poser les deux racines.
2/
a) c'est du cours, ce sont les
exp(2*pi*i*k/n) avec k de 0 à n-1
b)
soit A la solution, et B son inverse.
les arguments sont opposés, normal
et le module de A est l'inverse de B, c'est à dire 1 (d'après l'expression donnée en a) ).
même module, et argument opposés, A et B sont bien conjugués.
c)il suffit d'utiliser la somme des termes d'une suite géométrique.
si A est une racine n-ième de 1, alors la somme des puissances vaut
A(1-A^n)/(1-a) = 0 puisque A^n=1
3/
a(n), va tendre vers 1/V(2)
b(n) tend vers 0 (le ratio des termes tend vers 1)
4/
a)
on pose les Am, les intersection de A et n=m
de façon évidente, phi(Am) = [(m²+m)/2, (m²+3m)/2] (et phi est bijective sur phi(Am))
on note que
(m²+m)/2 =( (m-1)² + 3 (m-1))/ + 1
donc les Am contituent une partition de N².
on conclue à la bijectivité sur tout N²
b)
il suffit de considérer la suite extraite a(f(n)) avec f(n) = n(n+1)/2 + n
ainsi a(f(n)) = n et ne converge donc pas.
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