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Deduction calcul de somme

Mathematiques > sujets expliqués - 18/10/2007 - Question simple
                
c'est une somme classique qui tend vers 2.

on peut remarquer que le terme que l'on rajoute est à chaque fois la moitié de ce qu'il faudrait pour arriver à 2, ie :
1 = 2- 1
1+1/2 = 2 - 1/2
au rang suivant, on ajoute 1/4, on a : 1+1/2+1/4 = 2 - 1/2 + 1/4 = 2 - 1/4
puis on ajoute 1/8 :
1+1/2+1/4+1/8 = 2 - 1/4 + 1/8 = 2 - 1/8

on peut supposer que
1+1/2+1/4+1/8+....+1/2^n = 2 - 1/2^n

pour le prouver on fonctionne par récurrence.
on sait que cela fonctionne pour n=0.

on va montre que si
1+1/2+1/4+1/8+....+1/2^n = 2 - 1/2^n
alors c'est vrai pour n+1

on choisit donc un n pour lequel cela marche (au pire, on prend n=0)

donc 1+1/2+....+1/2^n = 2 - 1/2^n
on y ajoute 1/2^(n+1)
1+....+1/2^(n+1)=2-1/2^n+1/2^(n+1)
après un petit calcul :
1+.... + 1/2^(n+1)=2 - 1/2^(n+1)

donc si la propriété est vrai pour n, elle l'est pour n+1.
de plus, elle est vraie pour n=0, donc pour tout n on a :
1+1/2+....+1/2^n = 2 - 1/2^n

pas besoin de précisions ?
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