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Dm de tsi

Mathematiques > sujets expliqués - 10/10/2007 - correction
                
1.
sin x = -x + 1 => x+sinx-1=0
on note f la fonction x ->x+sinx-1 définit sur [0,1]

f'(x) = 1+cos(x) > 0 sur [0, 1]
donc strictement croissante
f(0)=-1 et f(1)=sin1>0, et elle est continue
f prend donc une fois et une seule la valeur zéro sur [0,1[

pour l'encadrement, il suffit d'utiliser sa calculatrice jusqu'à avoir une précision de 10^-3 (a tel que la solution soit entre a et a+10^-3)

2.
il suffit de tracer la droite affine définie par f,
et de placer sur une droite les points
u0=5
u1=5*0.5-3=-0.5
u2=-0.5*0.5-3=-3.25
et ainsi de suite jusqu'à u5

3.
si j'ai compris l'expression de un,
u1 = 1/(1*2)=1/2
u2=1/(1*2)+1/(2*3)=1/2+1/6=2/3
u3=1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)=3/4.

pour la récurrence, cela commence bien puisque c'est vrai pour les 3 premiers termes.

supposons donc qu'il existe n tel que
un = n / ( n + 1 )
étudions u(n+1)
u(n+1)=un+1/((n+1)(n+2))
or un = n / ( n + 1 )
u(n+1)=n /(n+1)+1/((n+1)(n+2))
on mets les deux termes au même dénominateur
u(n+1)=(n(n+2)+1)/((n+1)(n+2))
u(n+1)=(n²+2n+1)/((n+1)(n+2))
u(n+1)=(n+1)²/((n+1)(n+2))
u(n+1)=(n+1)/(n+2)
la propriété se transmet au rang suivant, et est vrai pour u1, on a fini

cela sera-t-il suffisant ?
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