Devoir maiso.

Mathematiques > sujets expliqués - 06/10/2007 - correction

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		Exercice 1 : Irrationalité d' lire
		1 1) soit p et q premiers lire

1

1)
soit p et q premiers entre eux tels que X0=p/q
donc
p²/q²+bp/q+c=0
p²+bpq+cq²=0
p²=-q(bp+cq)

et on a presque fini : q divise p², mais p et q sont premiers entre eux, seule solutions : q=1

X0=p

2)
n carré parfait => racine(n) est un entier, donc un rationnel

racine(n) est un rationnel, or c'est la solution de l'équation
x²-n=0
c'est donc un entier, et n est un carré parfait.

2)
3=3 modulo 7

pour passer au n d'après, il suffit de multiplier le résultat précédent par 3

3^2=9 modulo 7 = 2 modulo 7
3^3=6 modulo 7 = -1 modulo 7
3^4=-3 modulo 7 = 4 modulo 7
3^5=12 modulo 7 = 5 modulo 7
3^6=15 modulo 7 = 1 modulo 7

ne pas hésiter à vérifier à la calculatrice.
ie : (3^6-1)/7 est bien entier

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