en une : Cours philo : Dieu

Devoir maison sur les vecteurs.

Mathematiques > sujets expliqués - 01/11/2013 - correction
                
Bonsoir,

Partie A
Pour la relation de Chasles, il s'agit de décomposer un vecteur en une somme de deux vecteurs, simplement en intercalant une troisième lettre au milieu. Pour être plus claire, sur un exemple quelconque, on pourra toujours décomposer un vecteur AB en AC + CB, quel que soit le point C.
Donc dans ton exercice, partons de la relation que l'on a : KA + KB = 0
Dans la relation que l'on veut démontrer, le point M intervient, donc on va tout simplement "introduire" M dans les vecteurs KA et KB par la relation de Chasles, en écrivant : KA = KM + MA et KB = KM + MB.
Alors on a : (KM + MA) + (KM + MB) = 0
Donc : MA + MB + 2KM = 0
Donc : MA + MB = - 2KM
Et on sait que -AB = BA pour tout vecteur, donc on a bien la relation voulue, à savoir :
MA + MB = 2MK

Partie B :
1) Ok pour la question 1 si tu as fait la figure.

2) On cherche à démontrer ED = -1/2 BC.
On va partir de la relation qui y ressemble le plus visuellement : BD = 1/2AC.
On va introduire E dans BD par la relation de Chasles pour faire apparaître le vecteur ED qui nous intéresse : BD = BE + ED
Alors :
BE + ED = 1/2AC donc (BC + 1/2AB) + ED = 1/2AC d'après l'énoncé.
On va maintenant introduire C dans AB par Chasles pour faire apparaître un CB (et donc un BC) qui nous intéresse : AB = AC + CB.
Alors :
BC + 1/2AC + 1/2CB + ED = 1/2AC
On peut éliminer 1/2AC de chaque côté :
BC + 1/2CB + ED = 0
Donc :
BC - 1/2BC + ED = 0
1/2BC + ED = 0
ED = -1/2BC ! Donc on peut conclure que ED est parallèle à BC, de sens opposé, et faire la moitié de sa longueur.

3)
a. Introduisons B dans AA' par Chasles :
AA' = AB + BA'
A' étant le milieu de BC, on a BA' = 1/2BC
Alors :
AA' = AB + 1/2BC
Maintenant on introduit A dans BC par Chasles pour tomber sur des vecteurs qui nous intéressent pour la démonstration : BC = BA + AC
Alors :
AA' = AB + 1/2BA + 1/2AC
AA' = AB - 1/2AB + 1/2AC
Soit : AA' = 1/2 (AB + AC)

b. De même, on commence par introduire B dans AI :
AI = AB + BI
On introduit maintenant D dans BI car BI ne nous intéresse pas tel quel, il faut le décomposer :
BI = BD + DI
Alors :
AI = AB + BD + DI
Or on sait : BD = 1/2AC par l'énoncé.
Aussi, I étant le milieu de DE : DI = 1/2DE
Or on a montré : ED = -1/2BC, donc DE = 1/2BC
Alors :
AI = AB + 1/2AC + 1/4BC
On introduit finalement A dans BC pour ne se retrouver qu'avec des termes en AB et AC :
AI = AB + 1/2AC + 1/4BA + 1/4AC
AI = AB + 1/2AC - 1/4AB + 1/4AC
Finalement :
AI = 3/4AB + 3/4AC = 3/4 (AB +AC)

c. Pour la conclusion je te laisse faire, il suffit simplement d'expliquer ce que tu trouves comme généralité autour d'un triangle et d'une médiane coupant un côté opposé.

En espérant que ça t'aide bien !
Cordialement,
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