en une : Sujet : causes de la crise de 1929

Produits scalaires et fonction

Mathematiques > sujets expliqués - 27/04/2013 - correction
                
Bonjour,

Voici la correction de l'exercice avec quelques explications. Question par question :

1.

BC.BA=0.5*a².
Vous aviez bien répondu à la question. Pensez peut etre à réécrire la formule et détailler les étapes. Cela peut vous rapporter plus de points le jour d'un examen. En l'occurence,
BC.BA=||BC||.||BA||.cos(60)=a*a*0.5=0.5*a²

mais votre réponse était tout à fait correcte. C'est bien, cela montre que vous avez compris le principe de la formule à appliquer.

2.

Vous avez fait une erreur.
L'objectif est d'appliquer la formule suivante : BC.CG=||BC||.||CG||.cos(BC,CG)
Attention la subtilité est que l'angle dans le cosinus est un angle orienté.

Afin de contourner cette difficulté on peut se débrouiller pour tomber sur un angle plus simple.

Voici donc la première étape : BC.CG=-CB.CG
L'ancle CB.CG est de 30 donc cos(CB.CG)=sqrt(3)/2
L'objectif est de connaitre toutes les longueurs.
CB=a
CG=(2/3)*CK car G est le centre de gravité du triangle et CK est une médiatrice de ce triangle.
Longueur de CK : Il faut utiliser le triangle rectangle CKB pour utiliser la formule de Pythagore.
CB²=CK²+KB² => CK=sqrt(CB²-KC²)=sqrt(a²-a²/4)=sqrt(3a²/4)=(sqrt(3).a)/2
Donc CG=(2/3)CK=(2/3)*sqrt(3)*a/4
Donc $CG=\frac{\sqrt{3}}{3}a$

Nous avons donc finalement :
BC.CG=-CB.CG=(-1/2).a²

3.

Meme formule à appliquer.
GB.GJ=||GB||.||GJ||.cos (de l'angle)
Ici il s'agit de cos(180°) ou cos(pi)=-1
Concernant les longueurs : il faut se rappeler que G est au deux tier de la hauteur BJ.
nous avons déjà calculé BJ car BJ=CK (qui sont deux hauteurs d'un même triangle équilatéral). donc $BJ=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Nous avons donc : GB=2/3BJ donc $GB=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
et GJ=1/3J donc $GJ=\frac{\sqrt{3}}{6}a$
Finalement il nous reste à appliquer la formule du produit scalaire :
[Formule incorrecte ou erreur de parsing. Erreur 6 ]

4.

Toujours le même principe de l'application de la formule.

Tout d'abord l'angle entre les deux vecteurs. G étant le centre de gravite du triangle ABC, nous savons que : $\widehat{CGB}=\widehat{AGC}=\widehat{AGB}= \frac{2\pi }{3}$

Donc $cos(GB.GC)=cos(\frac{2\pi }{3})=-\frac{1}{2}$

Concernant les longueurs nous les avons déjà calculées : $GB=GC=\frac{\sqrt{3}}{3}a$

Nous avons donc :

[Formule incorrecte ou erreur de parsing. Erreur 6 ]

Voici donc les réponses à votre exercice.
De manière générale et pour faire une petite conclusion, il faut que vous gardiez en tête l'idée suivante :
-appliquer la formule du produit scalaire.
-Chercher les longueurs des 2 vecteurs en jeu
-Chercher la valeur du cos de l'angle en se rappelant bien que les vecteurs ont une direction et que cela peut impliquer un signe - pour le résultat du cosinus.

J'espère que cette correction vous aura été utile.

Bonne fin de journée.
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