Spé. maths
Mathematiques > sujets expliqués - 29/09/2007 - correction
Question 1.
Posons u=(5k+1)²+1
On va calculer u modulo 5
si u est divisible par 5, u mod 5=0
mais u=25k²+10k+2
or 25 mod 5=0, 10 mod 5=0 donc u mod 5=2 et u n'est pas divisible par 5
Question2
1. (3k+1) mod 3=1 donc
((3k + 1)^n) mod 3=1 et
((3k + 1)^n) - 1 mod 3=1-1=0
2.a 2^6=64
donc 2^21=64^3*2^3
64 mod 49=15 donc
2^21 mod 49=15^3*2^3 mod 49=30^3=27000=24500 mod 3+2450 mod 3+245 mod 3 +5=5 (245=5*49=0 mod 3)
donc 2^21 n'est pas divisible par 49
b) Développer (1+X)^7
c)343= 49*7
Si on applique b) avec X=2^21-1
on trouve (2^21)^7-1=49²*k+7(2^21-1)
D'après a)2^21-1 s'écrit 49*p
donc (2^147) - 1=(2^21)^7-1=49²*k+7*(49p)
donc c'est bien un multiple de 343.
TOn prof a du se tromper dans la Question 2, 1. mais le raisonnment de la Question 2. 3) est bon
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