Spé. maths :

Mathematiques > sujets expliqués - 29/09/2007 - Question simple

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		Question 1 : En raisonnant pa lire
		1) (5k + 1)² + 1 = 25k^2 + 1 lire

1)
(5k + 1)² + 1 = 25k^2 + 10k + 2
si c'est divisible par 5, alors comme 5 divise 25k^2 et 5 divise 10k, 5 divise 2, absurde.
quelque soit k, (5k + 1)² + 1 n'est pas divisible par 5.

1)
on développe la puissance en une somme de produit avec leurs coefficient polynomiaux (http://fr.wikipedia.org/wiki/Triangle_de_Pascal)
et on se rend compt que seul le dernier terme 1^n n'est pas divisible par 3, mais puisqu'on lui soustrait 1, on n'a alors qu'une somme de multiple de trois, donc divisible par 3

2)
a)(2^21) - 1 est bien disivible par 49 (on nous demande juste de vérifier, pas de prouver)

b) même chose que pour la question 1, en développant la puissance en somme, on se rend compte que tous les termes ont une puissance de x au moins égale à 2 (donc divisible par x^2) sauf 1 et 7x, donc en les soustrayant, on a bien une somme de termes divisible par x^2

c) d'après a) :
2^{21}=49q+1,
on remplace x par 49 q : (1+49q)^7-(1+7*49q)est divisible par
(49^2)*(q^2) soit
(1+49q)^7=49^2q^2* k +(1+7*49q)
ce qui donne
(2^{21})^7=49^2q^2*k+1+343q
=343(7kq^2+q)+1

2^{147}-1 est donc divisible par 343.

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