en une : Le raisonnement par récurrence

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Mathematiques > sujets expliqués - 09/12/2012 - Question simple
                
Votre dérivée est effectivement juste.

Il faut ensuite étudier le signe de cette dérivée sur l'intervalle ]-3;3[.

On résout donc l'inéquation sur l'intervalle de définition de la fonction :

$\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}} - 1 > 0$
équivaut à
$\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}} > 1$
équivaut à
$-x > \sqrt{9-x^2}$

Pour x positif, l'inéquation n'est jamais vérifiée car la racine est positive et -x négatif.

Pour les x négatifs, les deux côtés de l'inéquation sont positif donc on peut élever au carré et on a donc :
$x^2 > 9-x^2$
équivaut à
$x^2 > 9/2$
équivaut à
$x < -3/\sqrt{2}$ (car x est négatif dans ce cas).

Par ailleurs, le même genre de calcul montre que la seule racine est $-3/\sqrt{2}$.

Conclusion : La dérivée est positive sur $]-3; -3/\sqrt{2}]$ et négative sur $[ -3/\sqrt{2};3[$ . On en déduit directement les variation de la fonction.

Bien cordialement,
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