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La suite du dm de maths

Mathematiques > sujets expliqués - 13/10/2011 - correction
                
Le coût du carburant s'obtient en multipliant le prix au litre par le nombre de litre, et le nombre de litre est égal à la consommation par heure multipliée par la durée du trajet (en heures).
La fonction f(v) est le coût total du trajet, càd le coût du carburant auquel s'ajoute le coût (le salaire) du chauffeur = nb d'heures multipliées par salaire horaire.
Le tableau de variation sert à trouver facilement comment évolue f(v). On y met l'ensemble de définition de f, et on précise en quels points son sens de variation change, càd en quels points la dérivée s'annule. Je te conseille de relire ton cours et de demander à ton professeur si tu n'as pas compris. (de même pour le calcul de la dérivée, c'est dans ton cours).
Une fois que tu sais en quels points la dérivée s'annule, ça te donne les intervalles sur lesquels le signe de la dérivée ne change pas, càd les intervalles sur lesquels la fonction est monotone : si la dérivée est positive la fonction croît, si f' est négative f décroît.

Pour le reste du DM, je te donne la correction mais essaie de le faire par toi-même et de ne vérifier qu'après si c'est juste.

Calculer f’(v) :
f’(v) = 2 – 13122/v²
f’(v) = 0 équivaut à 2=13122/v²
càd v² = 13122/2 = 6561
càd v=81 ou v=-81
or on étudie la fonction f sur ]0 ;130] (f n’est pas définie en 0)
sur ]0 ;81[ f’ est strictement négative donc f est strictement décroissante sur ]0 ;81]
sur ]81 ;130] f’ est positive donc f est strictement croissante sur [81 ;130]
(faire un tableau de variations)
f a donc un minimum en v=81, le chauffeur doit rouler à 81Km/h pour que le coût de transport soit minimal. Ce coût est alors f(81) = 2x81 + 13122/81 = 162 + 162 = 324 euros
f(v) = 350 équivaut à 2v + 13122/v = 350
càd (il faut mettre sous forme d'un polynome pour pouvoir résoudre) : 2v² - 350v + 13122 = 0
v² - 175 v + 6561 = 0
Le déterminant vaut 175² - 4 x 6561 = 4381 = 66,189²
v=( 350 – racine (4381)) / 2 ou v = (350 + racine(4381)) / 2
v = 54.4 ou 120.6 km/h
La vitesse moyenne du bus doit donc être comprise entre 54,4 et 120,6 km/ pour que le coût ne dépasse pas 350 euros, et pour satisfaire les conditions de sécurité elle doit être comprise entre 54,4 et 90 km/h.
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