en une : Le lexique de français

Fonction exponentielle

Mathematiques > sujets expliqués - 02/05/2007 - correction
                
2. toutes les fonction qui compose P sont derivables sur [0,5], donc c'est bon

on a affaire a une fonction composee du style 100*g(t) * f(t)), donc sa derivee va etre 100(f'(t)*g(t)+f(t)*g'(t)).

ici g(t) = t et f (t) = e^(-t)
g' (t) =1
f est du style (h(j(t)), avec h(t)=e^t et j(t)=-t, sa derivee sera j'(t)*h'(j(t)) (formule classique de derivation).
donc
f'(t) = -e^(-t)

il reste a calculer 100(f'(t)*g(t)+f(t)*g'(t)), et on trouve le con resultat en factorisant.

3. on regarde le produit P'
100 est positif
e^(-t) est toujours positif (c'est une exponentielle)
(1-t) est positive pout t<1, nulle en 1, negative apres.

P' a donc le meme signe que (1-t)

donc P croit entre 0 et 1, puis decroit apres.

4. il suffit de lire la caluculatrice.

5.une fois la courbe tracee, on trace un trait horizontal a 5mg/L. on distingue alors trois morceau de la courbe.
-la premiere, en dessous de la ligne : la vague de pollution arrive.
-au milieu, on est au dessus des 5 mg/L il ne faut surtout pas pomper.
-ensuite le taux de pollution redescend, et on va finir par passer sous la ligne, on regarde donc en quel point la courbe passe sous la ligne des 5mg/L et on note le t correspondant, d'apres le tableau, ce passage se fait a peu pres a 4.5.

b.
6 minutes, cela fait 0.1 heure. on sait d'apres le tableau de variation que entre 0 et 0.1 heure, la courbe est croissante, donc si on est en dessous de la limite a 0.1, on sait qu'on ne l'a pas depasse entre 0 et 0.1.

on calcule P(0.1) = 9.04 (d'apres mon calcul)
on est au dessus des 5mg/L de la reglementation.
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