Ex sur loi de poisson (proba, vraisemblance, estimateur et distribution asymptotique)

Mathematiques > sujets expliqués - 29/04/2010 - correction

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Je dispose d’une variable latente Yi* qui suit une loi de poisson de paramètre m.
Sa densité est donné par :
F(y*)=( exp –m m y* ) / y* ! avec m>0 et y*appartenant aux entiers naturels

Ce qui est en gras est un indice

1) On n’observe pas la variable yi* mais seulement la variable qualitative :
yi = 1 si yi*≥1
0 si yi*=0
a) Donner l’expression de la proba P[yi=0] :
Ecrire la log vraisemblance d’un échantillon (y1,…,yn)
b) Donner l’expression de l’estimateur de m, noté ^m
c) Quelle est sa distribution asymptotique

2) On considère maintenant que l’on observe directement l’échantillon (y1,…,yn) au lieu des variables dichotomiques.
a) Donner l’expression de la vraisemblance de cet échantillon
b) Donner l’expression de l’estimateur de m, noté ^m
c) Quelle est sa distribution asymptotique

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