en une : Sujet : causes de la crise de 1929

Suites numériques

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Julie,

Avec les suites numériques on est souvent tenté d’utiliser le raisonnement par récurrence, c'est-à-dire trouver un lien entre le terme de rang n et des termes de rang inférieurs pour pouvoir reporter ce lien au rang n+1. C’est ce qu’il faut faire dans la première question. Je te rappelle qu passage les 3 étapes indispensables pour qu’un raisonnement par récurrence soit juste :
1) prouver que la propriété est vraie au premier rang de la suite : ici U0 = 1 est bien compris entre 1 et 2
2) prouver que si la propriété est vraie au rang n alors elle l’est forcément au rang n+1. A cette étape il faut toujours trouver un moyen de faire un lien entre les éléments consécutifs de la suite. Ici si Un appartient à ]1 ;2] alors Un+1 = 1 +1/Un appartient nécessairement à ]1 ; 1+1/2] donc Un+1 appartient à ]1 ;2]
3) cette dernière étape est souvent oubliée et pourtant elle est essentielle car elle n’est pas toujours vraie. Dans les cas simples comme ici il n’y a pas de problème, néanmoins pour que le raisonnement soit juste, il faut toujours établir le lien entre les deux premières étapes, c'est-à-dire : Puisque Uo appartient à ]1 ;2] et que la relation de récurrence est vérifiée entre Un et Un+1, alors pour toute valeur de n, Un appartient à ]1 ;2]
Le raisonnement par récurrence est très puissant, cependant il ne faut pas commettre l’erreur de chercher à tout démontrer dans les suites numériques par la récurrence. Il est parfois beaucoup plus efficace d’utiliser un raisonnement direct, qui prouve ce que l’on veut pour toute valeur de n. En l’occurrence tu dois prouver que la suite des éléments U2n est croissante. Tu dois toujours te demander comment traduire en termes mathématiques la proposition que l’on te demande de prouver. Pour que la suite (U2n) soit croissante il faut que pour toute valeur de n, U2n+2 > U2n. Le seul moyen de comparer ces deux éléments c’est d’obtenir une expression qui ne fasse plus intervenir que U2n. Il faut donc exprimer U2n+2 en fonction de U2n. Pour cela il faut juste utiliser la définition des termes de la suite :
U2n+2 = 1 + 1/U2n+1 = 1 + 1/(1+1/U2n)
Ensuite il faut écrire cette expression sous une forme ou tu peux savoir si U2n+2 est plus grand que U2n ou pas. Le moyen le plus simple de faire cela est en général de factoriser par l’élément auquel tu veux comparer c'est-à-dire ici factoriser par U2n. Tu obtiens alors :
U2n+2 = 1 + U2n/(1+U2n)
U2n+2 = U2n*((2+1/U2n)/(1+1/U2n))
Tu vois alors que U2n+2 est égale à U2n fois un facteur. Si ce facteur est supérieur à 1, alors tu auras prouvé que la suite (U2n) est croissante. Et en effet, si j’appelle e=1/U2n le facteur est égal à ((2+e)/(1+e)) . comme 2+e > 1+e avec e>0 (e>0 car U2n appartient à ]1 ;2] quelque soit n) alors le facteur est bien supérieur à 1. Donc pour toute valeur de n on a bien U2n+2 > U2n, donc la suite (U2n) est croissante.

Tu n’as plus qu’à faire exactement le même type de raisonnement pour prouver que U2n+1 > U2n+3 quelque soit n et tu auras prouvé que la suite (U2n+1) est décroissante.

Voilà Julie, j’espère que cela t’aidera et à très bientôt.
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