La droite d'euler

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		bonjour,je ne comprend pas c(...)
		Re bonjour Nathalie, Pour fai lire

Re bonjour Nathalie,
Pour faire cet exercice tu dois avoir deux choses bien en tête :
- les propriétés de toutes les droites remarquables d’un triangles (médianes, médiatrices, bissectrices et hauteurs)
- les bases du calcul vectoriel (calcul de la norme d’un vecteur, de la somme de deux vecteurs…)
Si tu as ces outils bien en tête tu dois pouvoir répondre à toutes les questions :
2a) pour calculer les distances RA, RB et RC, en fait cela revient à calculer la norme des vecteurs correspondants. Tu dois savoir que pour un vecteur AB, sa norme se calcule à partir des coordonnées des points A et B en écrivant ||AB|| = racine((xB-xA)^2 + (yB-yA)^2) Il te suffit d’appliquer cette formule, ce qui te donne pour RA par exemple :
RA = racine( (1+3)^2 + (4-1)^2) = racine(16+9) = racine(25) = 5cm
Tu fais de même pour RB et RC et tu trouveras la même longueur pour les trois. Tu dois alors te souvenir dans ton cours quel est le point qui est à égale distance de tous les sommet d’un triangle ? cela doit te faire penser aux médiatrices…
b) tu calcules les distances KA, KC et AC exactement de la même façon que précédemment avec la formule que je t’ai rappelée. Si on te fait calculer la distance KA au carré ce n’est pas pour rien…En fait on veut te faire penser au théorème de Pythagore. C’est à dire que si tu écris KA^2 + KC^2 tu n’auras aucun mal à trouver la nature du triangle AKC…
Pour prouver que K appartient à BC il faut que tu montres que l’angle AKC est le même que l’angle AKB. C'est-à-dire qu’il te suffit de montrer comme précédemment que le triangle AKB est rectangle en K
c) l’intersection des médiatrices dans un triangle est aussi le centre du cercle circonscrit donc le rayon du cercle circonscrit est RA = 5cm
3) L’orthocentre du triangle c’et l’intersection de ses hauteurs. Si tu regardes le dessin tu verras tout de suite que AB est parallèle à l’axe des abscisses. C’est normal puisque les abscisses de A et de B valent toutes les deux 1. Donc la hauteur issue de C qui par définition est perpendiculaire à AB sera forcément parallèle à l’axe des ordonnées (verticale). L’orthocentre est nécessairement un point de cette hauteur or tous les points d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées ont la même abscisse. C'est-à-dire que l’abscisse de H est nécessairement égale à l’abscisse de C c'est-à-dire -2.
Tu as démontré au 2b) que AK était orthogonale à BC donc par définition AK est une hauteur de ABC donc H appartient à AK par définition de l’orthocentre. Pour trouver l’ordonnée de H il faut alors que tu écrives l’équation de la droite qui passe par A et K et que tu prennes la valeur de l’ordonnée du point de cette droite pour l’abscisse -2.

4a) Il faut que tu reviennes à la définition du centre de gravité : GA + GB + GC = 0 (en vecteurs) Tu dois alors écrire cette relation en fonction des abscisses et des ordonnée de chacun de ces vecteurs. Je te rappelle que les coordonnes d’un vecteur s’obtiennent à partir de la différence des coordonnées de ses points d’extrêmité. C’est à dire que pour GA par exemple ses coordonnées sont X = xA-xG = -3 – xG et Y = yA – yG = 1 – yG
Ensuite, pour faire la somme des trois vecteurs il faut que tu fasses la somme coordonnée par coordonnée donc pour les abscisses par exemple tu écriras que
xA-xG + xB-xG + xC-xG = -3 – xG + 5 – xG -2 – xG = -3xG
or d’après la définition du centre de gravité la somme de ces trois vecteurs doit être égale au vecteur nul. Donc il faut entre autre que l’abscisse de la somme soit nulle c'est-à-dire que l’on doit avoir -3xG = 0 ce qui implique xG = 0
Tu fais la même chose avec les ordonnées et tu auras l’abscisse et l’ordonnée de G.
b) à partir des points H et G par exemple tu peux déterminer l’équation de la droite GH. Après il ne te reste qu’à vérifier que les coordonnées de R vérifient l’équation de la droite pour pouvoir conclure que R appartient à la droite (GH).
5a) déterminons les coordonnées de A’. A’ est le milieu de BC. Ses coordonnées sont donc la moitié de la somme des coordonnées de B et C c'est-à-dire que xA’ = 1/2(xB + xC) et yA’ = 1/2(yB + yC)
donc les coordonnées de A’ sont (3/2 , 9/2)
Tu fais la même chose avec tous les autres points que l’on te demande car ce sont à chaque fois les milieux d’un segment dont tu connais les coordonnées des points d’extrémité.
6) Une fois que tu as les coordonnées de tous ces points tu peux calculer toutes les distances SA’, SB’, SC’, SA1, SB1, et SC1 pour te rendre compte qu’elles sont toutes égales, ce qui prouvent que les points A’, B’, C’, A1, B1, C1 sont sur un cercle de centre S et de rayon SA’ . Ce cercle est le cercle inscrit au triangle ABC.

J’espère qu’avec ses indications l’exercice te semblera moins difficile.
Je te souhaite à toi aussi de très bonnes fêtes.

A très bientôt Nathalie.

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